Компьютеры Фибоначчи.  Точки над i.

Мы получили интересный отклик А. В. Никитина из города Волго­донск на статьи Алексея Стахова "Компьютеры Фибоначчи ", опуб­ликованные в двух предыдущих номерах, и решили напечатать его с незначительными сокращениями.

Tема,    поднятая    в    статье А П  Стахова, мне кажется, требует некоторых поясне­ний.  В математике на сегод­няшний день существуют две общепринятые   константы Это число пи = 3,14    и чис­ло е = 2,71.   На этих константах строится все здание математики.  Существует еще одна константа, это число Ф= 1,618. ..   

И хотя открыта она более двух тысяч лет назад, в клас­сической математике места ей так и не нашлось. Долгое время число Ф служило   мерилом   гармоничного восприятия и эталоном размернос­ти для скульпторов, художников, ар­хитекторов.  Оно имеет множество названий — золотое сечение, боже­ственная пропорция и т. д. Великие умы искали разгадку его возникно­вения и не находили.

Сегодня ученые, работающие в любых направлениях науки, снова и снова натыкаются на эту константу.  Следует серия сенсационных пуб­ликаций.  Мир в восторге.  Поднима­ется газетная шумиха, на волне ко­торой начинается бурный рост раз­ного рода "научных" теорий и новых "философских" трудов на тему чис­ла Ф.  С его помощью считают все, от развития Вселенной до количе­ства чертей на дне бутылки.  Вал мутных публикаций захлестывает мир, хороня под этим мусором и действительно ценные научные находки и открытия. Интерес к числу Ф меняет знак на противоположный.  Уже любое упоминание о нем вызы­вает активное неприятие всего, что с ним связано.

К сожалению, примерно по тако­му сценарию события развивались уже не раз. И каждый раз это приво­дит к одному и тому же результату.  Наука надолго отворачивается от числа Ф до следующей сенсации.  За последние полвека было, как ми­нимум, два всплеска интереса к этой константе.  Пока еще высок интерес к числу Ф в Северной Америке и Ан­глии.  Выпускаются журналы и публи­куются статьи на тему Фибоначчи. Несколько сайтов в Интернете рас­сказывают о последних достижениях в этой области.  Но, кажется, и там интерес уже минимальный.

В СССР информационный бум, связанный с числом Ф, пришелся на 70—90 годы двадцатого века.  Одна­ко ввиду развития событий в мире у нас делалось все для его снижения и полного замалчивания.  Интерес к этой теме тщательно подавлялся.  В массовую печать попадали лишь разрозненные статьи, а официаль­ная наука хранила полное молчание.  В этих условиях открытия А П Стахова в области применения этой константы в вычислительной технике представляются еще более значи­мыми.  Сейчас можно оценить сде­ланное.  Можно покритиковать.  Не всей не так сделано.  Сейчас можно.  А тогда? В то время, когда все — против? И не было ни средств, ни времени Пик работ пришелся на период перестройки.  Все понимали, главное — успеть.  Другого шанса не будет.  Но не успели, великая страна развалилась, работы по компьютеру Фибоначчи были свернуты.  А про­блемы остались.

Мне кажется, пришло время по­пытаться понять суть этих проблем.

При нынешнем развитии компью­терной техники и программирова­ния, всеобщей эйфории от их приме­нения во всех отраслях нашей жизни очень сложно говорить о недостатках этого шедевра человеческой мысли, заложенных в него изначально гос­подствовавшей тогда философией.

Общий подход к реализации ма­шинных вычислений — применяемая система счета. Точность, достовер­ность, повторяемость — вот крите­рии оценки результата вычислений с применением компьютера.  Эти кри­терии всегда определяли и определяют философию и архитектуру ком­пьютера.  Сейчас на первый план вышли надежность и достоверность хранения информации, сохранение правильности введенной информа­ции в условиях помех и многократ­ной перезаписи, методы обнаруже­ния и исправления ошибок.  Пере­чень можно продолжать.  Это общие технические проблемы любого сложного вычислитель­ного комплекса.

Вот с систем счета и нач­нем Мы привыкли к процес­су счета—1, 2, 3, … — и нам кажется, что нет ничего про­ще и естественней.  Считать можно все.  Можно поштучно, можно кучками, десятками, дю­жинами, чем удобнее и проще.  А чем и как проще? На этом и возник­ли различные системы счета.  Их много.  Все они различаются основа­нием системы и способами записи числа, но сходны в одном — они счи­тают единицы.  Одна вещь, две и т д.  И число, отражающее результат сче­та, сегодня имеет четкую позицион­ную структуру.  Каждая цифра зани­мает свое место в числе и отражает состояние какого-либо его разряда.  Каждый разряд — это количество каких-то разрядных единиц.  Количе­ство единиц, составляющих полный разряд — и есть основание счетной системы.  Порядок арифметических действий всем понятен со школьной скамьи. Неужели можно считать как-то иначе?

Наверное, первым, кто задал себе этот вопрос, был американец Бергман.  Ему пришла в голову идея сделать основанием счета не це­лое, а иррациональное число Ф.  Это единственное иррациональное число (то есть заведомо неточное), на котором можно создать полно­масштабную систему счисления, по построению совпадающую со всеми существующими.  Каждый новый разряд в числе — это новая степень основания счета.  Система счета Бергмана была опубликована в 1957 году.  На публикацию особого внимания не обратили. В это время победным маршем развивались двоичные системы счисления. Это­го требовал Компьютер. О системе Бергмана забыли надолго и вспоми­нали лишь как о курьезе.  Ее заново открыл Стахов.  В его изложении она и известна сегодня читателям, хотя неподготовленному читателю не со­всем понятна.

Если использовать цифры 0 и 1, то первые числа натурального ряда в этой системе счета выглядят так:

1= 1

2=10,01=1+1

3=100,01=10,01+1=11,01

4=101,01=100,01+1

5=1000,1001=101,01+1=110,1001

6=1010,0001= 1000,1001+1=1001,1001

7=10000,0001=1010,0001+1=1011,0001

8=10001,0001=10000,0001+1 и т.д.

Такое положение возникает в ре­зультате того, что десяток не содер­жит целого числа единиц, так как он меньше 2, и сложение 1 + 1 >Ф, что дает следующий разряд с перепол­нением. А так как мы складываем целые единицы, у нас одинаково бы­стро нарастает и целая часть числа, и дробная. Основное правило счета 011 = 100, то есть старший разряд — это сумма двух предыдущих.

Зачем же нужна такая странная система счета?  Всем понятно, что считать в ней неудобно и непривыч­но.  Это понимал и Стахов.  Он ушел от иррациональности основания счета, разработав новые системы.  В них целые числа уже представлены как целые, без длинного "хвоста" дробной части. Сохранены и прин­ципы счета Бергмана. Теперь можно и считать, и создать на этой основе принципиально новый компьютер. Что из этого получилось, мы, к сожа­лению, уже знаем.  Но вопрос остал­ся.  Зачем и почему нужен именно такой счет? Неужели нельзя обой­тись тем, что уже есть и прекрасно работает?  Зачем вообще нужен компьютер Фибоначчи?

Основой компьютерной памяти является двоичное число опреде­ленного размера. Биты и байты — это уже вполне привычные термины, определяющие размерность компь­ютерных чисел.  Однако посмотрим на двоичное число (например, 10110010) и зададим себе несколь­ко вопросов.  А если в каком-то раз­ряде вместо 1 появится 0, можно ли это сразу обнаружить? И выяснится, что нет.  Появившаяся ошибка никак себя не проявит вследствие полной независимости разрядов числа (123=100+20+3).  Для поиска таких ошибок нужны специальные методы.  А в системе Ф-счета Бергмана?  В ней число — это сумма зависимых разрядов.  И появившаяся лишняя единица во многих случаях сразу приводит к необходи­мости преобразования числа.  Это позволяет фиксировать ошибку сразу при появлении.  И исправлять.  Высокую поме­хоустойчивость Ф-счета се­годня признают все разработ­чики компьютерной техники.  Но вместе с явными плюсами си­стем счисления на базе числа Ф сразу стали обнаруживаться и мину­сы.  Числа получаются длинные, вы­числения сложные.  И самое главное — для компьютера Фибоначчи все надо создавать вновь, с "чистого ли­ста".  И архитектуру, и процессоры, и программы.  Конечно, возможен ра­зумный компромисс.  Но, без переос­мысления философии числа и счета, без переоценки направлений разви­тия компьютера все равно не обой­тись.  А это очень сложное решение.  Сегодня сфера применения ком­пьютеров далеко вышла за рамки чистых вычислений.  Число переста­ло быть показателем результата сче­та, став самостоятельной величиной и носителем информации.  При та­ком подходе многие очевидные из­менения числа перестают быть оче­видными.  Давайте проведем не­сколько опытов в доказательство та­кого, с первого взгляда, абсурдного заявления.

Любое число можно представить суммой единиц N=1 + 1 + 1 + 1+…

 По­нятно и привычно.  Сколько палочек в коробке?  Начнем вынимать по одной и считать.  На последней палочке счет кончается.  Это и будет числом палочек в коробке, или результатом счета.  Теперь посмотрим на про­цесс счета, для чего немного изме­ним условия.  Нас интересует уже не результат, мы будем наблюдать за изменением числа в зависимости от поступления счетных единиц.  Вот заполнился один разряд счета, и единица перепрыгнула в следующий разряд.  Вот снова прыгнула.  Вот за­полнился и другой... Теперь сразу две единицы в разных разрядах пе­репрыгнули в соседние.   А единицы все поступают и счет продолжается. Число все растет, заполняются все новые разряды — то короткими пе­ребежками,  из одного разряда в со­седний, то сразу по всем разрядам из одного края цепи в другой. Вот число уже не умещается на страни­це. Все, его уже и не определить, ос­тается следить за куском числа или за числовой цепью. Вот числовую цепь мы можем определить. Указать количество разрядов в контролируе­мой цепи, определить разряд, в ко­торый поступают единицы, степень влияния на эту цепь разрядов счета, не попавших в контролируемый уча­сток и т. д.

Если отвлечься от "веса" разряд­ных единиц, в целом подобный про­цесс счета можно назвать движени­ем единиц по разрядам. Мы наблю­дали динамику счетного процесса. Интересовал нас результат счета? Если честно, то не очень. Нас даже не интересовало текущее состояние разрядов счета. Ну, заполняются, и ладно. А процесс счета? Да, инте­ресно. Особенно момент обнуления разряда и прыжок единицы. Кто из нас не ждал момента: 999, вот сей­час, есть: 1000! При таком подходе к счету возникают вопросы уже иного рода — скорость роста числа, дина­мика и частота движения единиц. От чего все это зависит? Эти и другие параметры числа определяются примененной системой счета. Чем больше основание счета — "деся­ток", — тем реже перескакивают единицы по разрядам и тем медлен­нее рост числа.

Теперь такой же опыт проведем с числом Ф-счета. Мы увидим, что единицы бегут по разрядам счета уже не в одну сторону, а в разные, то есть мы наблюдаем движение сразу в двух направлениях: одни единицы уходят в сторону увеличения числа, а второй, более быстрый поток — в сторону нуля. Дробная часть числа то появляется, то исчезает и стано­вится все длиннее, уходя все дальше к туманному нулю. Движение единиц в сторону нуля — это результат ир­рациональности основания счета. Десяток — число с бесконечной дробью. Каждая вторая счетная еди­ница в свой счетный разряд уже не умещается и образует дробную часть. В процессе суммирования эти остатки и образуют второй поток единиц — в сторону нуля.

Сделаем выводы из проделанных опытов:

•     Динамика счетного процесса — это тоже результат счета. Иногда сам процесс счета важнее результа­та.

•     Ф-счет  имеет  совершенно другие возможности, нежели суще­ствующие системы счета. Не лучше и не хуже, просто другие.

•     Динамика счета и движение единиц по разрядам числа — это тоже информация, и этим потоком можно и нужно управлять.

•     Число или числовая цепь мо­жет работать как канал передачи информации. Все зависит от подхода и исполнения.

При таком подходе к процессу счета и числу можно рассматривать число как величину, имеющую на­правление роста и вектор развития. Если первое понятно, то второе надо объяснить. Это вещи не тожде­ственные. Вспомним опыт. В первом случае число развивалось только в сторону увеличения разрядности, и можно сказать, что вектор развития числа и направление роста совпада­ют. В случае Ф-счета число развива­ется сразу в двух направлениях: и в сторону увеличения, и в сторону нуля. Значит, число в системе Ф-сче­та имеет два вектора развития, один из которых не совпадает с направле­нием его увеличения, а направлен в сторону роста разрядности дробной части. Причем вектор развития чис­ла в системе Ф-счета имеет две точ­ки привязки. Вспомним, в Ф-счете новый разряд образуется из суммы двух предыдущих, тогда как в рацио­нальных системах счета — простым переполнением предыдущего раз­ряда. Такая ориентация счета на числовой оси позволяет совместить число с координатами пространства и простым суммированием получать многомерные числа. Возможности  Ф-счета и моделирования это по­зволяют.

В наши дни компьютер Фибонач­чи — направление, возникшее в процессе осознания недостатков, присущих существующей компью­терной технике, — это и полигон для творчества в подходе к процессам счета, и числовой канал передачи информации, и связанные числа, а на их базе — объемный процессор, числовые объемные структуры хра­нения и переработки информации, например, по ассоциативным при­знакам сразу в нескольких незави­симых направлениях, и еще много такого, что и не снилась современ­ному компьютеру, наконец, это один из вариантов приближения к искус­ственному интеллекту. Предпосылки к этому есть. Не стоит только пере­оценивать возможности Ф-счета. Разумный компромисс старого и но­вого необходим всегда.

Системы Ф-счета более приме­нимы к построению и моделирова­нию деятельности аналогов живых объектов, например, нервных клеток и систем. В числовых цепях они хо­рошо моделируют процессы возбуж­дения и торможения, самовосста­новления канала связи, прохожде­ния потоков информации по разря­дам счета, генерации кольцевых по­токов счета и т. п. Все эти процессы могут быть реализованы на суще­ствующих схемах цифровой элект­ронной техники.

В "железе" процессы счета мож­но демонстрировать на счетных триггерных линейках, реализующих систему Ф-счета Бергмана. Линейка такого электронного счетчика пока­зывает еще одну интересную деталь. Она имеет два канала счета: пря­мой, похожий на двоичный счетчик, и обратный, образуемый петлями об­ратной связи четных и нечетных яче­ек счета. В общем, тут есть простор для экспериментов.