А.В.Никитин

 

О логике и логической машине.

 

Что мы знаем о логике... 2

Определение  понятия ….. 3

Метатеоретические проблемы и концепции логики. 5

Составляющие логики. 9

Законы логики. 9

Логические правила.. 13

Логическая операция. 16

Аксиома. 27

Понятие. 28

Суждение. 31

Силлогизм. 36

Рассуждение. Умозаключение. 38

Высказывание. 40

Надо разобраться….. 40

Логики, сколько их?. 43

Классическая логика. 43

Неклассические логики. 44

Формальная логика. 45

Неформальная логика. 45

Трансцендентальная логика.. 45

Вероятностная логика.. 46

Многозначные логики. 46

Модальная логика. 46

Деонтическая логика. 46

Диалектическая логика. 47

Логика высказываний.. 49

Символическая  и  математическая логика. 49

Логика отношений. 52

Логика квантовой механики. 52

Почему такое разнообразие?. 53

О механической логике и  логических машинах. 54

Некоторые «забытые» понятия логики. 55

Логическое обоснование. 67

Логичность логики. 71

О логических машинах. 75

От заката до рассвета….. 76

О понятии «логическая машина»….. 78

История логических машин. 79

Логическая машина клетки. 88

Клеточная сигнализация. 105

Пути транспорта белков в клетке. 108

Клеточная машина. 112

Заключение. 114

Литература. 115

 

 

Что мы знаем о логике...

 

 

Начиная собирать материалы по логике в различных источниках, я и предположить не мог, что я найду. Пытаясь разобраться в логике, как науке, имеющей тысячелетнюю историю, я сосредоточился на основных составляющих и направлениях логики.

Оказалось, что древняя логика, это поле постоянных военных действий различных теорий, школ и мнений.  По многим основным вопросам логики мнения разных специалистов иногда полярны по взглядам и пониманию.  Конечно, это удивляет и настораживает. 

Но еще больше настораживает постепенная потеря самостоятельности логики. Главная составная часть логики, система понятий, когда-то составляющая основу философии, почти забыта. Она ушла из философии, но и в логике не удержалась.

Если сегодня взять  любой учебник по логике, например, [24-28, 30], то мы видим примерно один и тот же объем материала. Видимо, только этот материал сегодня отнесен к логике, которую изучают как студенты, так и специалисты.  

Логика, как часть философии, почти не изучается. В ходу только математическая логика. Логика стала начинаться с математики, хотя должно быть наоборот. Потому, что это математика – часть логики. Но мы забыли об этом.

Поразительно, все основные философские построения сделаны на основе логики, да и законы философии  сформулированы логикой, а сейчас логика  не только ушла из философии, но и почти лишилась большинства  понятий, составлявших основу логики.

Сегодня почти все знают, что такое логическое умножение и сложение, а что такое логическое деление?  Или как умножить понятие на понятие? А ведь это должна быть нормальная логическая операция.  Импликация, как логическая операция очень сильно сместила понятия логического условия, лежащего в основе этой операции. 

Что такое классификация, ограничение, определение?

Это логические операции. Как ни странно…

Еще несколько лет назад, когда я только начал потихоньку заглядывать к логику, не математическую,  а  науку размышлять, то сразу наткнулся на некоторые противоречия. Тогда я, как дилетант, просто констатировал это как мое непонимание чего-то важного и прошел мимо, к следующему изучаемому вопросу.  Но нестыковки и противоречия накапливались. Это заставляло внимательнее вчитываться в материалы по логике. 

С большим трудом нашел в логике обобщение и  … не нашел его противоположности - детализации или сходного по смыслу понятия. Классификация имеет хоть и близкий, но несколько другой смысл.  Операция ограничения, хоть и заявлена, как противоположность обобщения, фактически имеет другое направление действия.

 Где в логике причина и следствие? Они обязаны быть здесь, а не в  философии или математике. Условие, как логическое понятие, вроде бы есть, а логики условий – нет. События есть, а логики такой нет. Даже операций с событиями нет. Мы говорим, что все должно быть логически обоснованно, а даже понятия обоснования в современной логике найти сложно.

Видимо, когда-то всё это в логике было. Но, с постоянным стремлением к формализации и упрощению логических понятий для их использования как кирпичиков в построениях логики, сложно формализуемые понятия из логики ушли в другие системы знаний с соответствующим изменением смысла, например, в ту же философию.

Математика вообще оставила в своей, математической логике только малую часть логических понятий. Так проще. Потому, что главной в математической логике стала математика. Она и стала диктовать условия и формулировать понятия.

Я не ставил своей целью систематизировать информацию по логике и дать полную картину по её современному состоянию. У меня на это ни знаний, ни времени…

Скорее, собранная информация отражает мое желание показать логику, как науку, имеющую самостоятельный  путь развития, не зависящий от навязанной ей односторонней математической направленности, не очень оправданной во многих случаях.

С другой стороны, мне пришлось сразу же разбираться в разных точках зрения по, казалось бы, уже классическим понятиям. 

Далее я предлагаю вниманию читателей конспект по результатам  моих поисков. Он собран из материалов, найденных в Интернете. О логике, её направлениях, основах, теориях…

Начнем с  определения понятия логики.

 

 

Определение  понятия …

 

Логика (др.-греч. λογική — раздел философии, «наука о правильном мышлении», «искусство рассуждения» от λόγος — «речь», «рассуждение», «мысль») — наука о формах, методах и законах интеллектуальной познавательной деятельности, формализуемых с помощью логического языка. Поскольку это знание получено разумом, логика также определяется как наука о формах и законах правильного мышления. Поскольку мышление оформляется в языке в виде рассуждения, частными случаями которого являются доказательство и опровержение, логика иногда определяется как наука о способах рассуждения или наука о способах доказательств и опровержений. Логика как наука изучает способы достижения истины в процессе познания опосредованным путём, не из чувственного опыта, а из знаний, полученных ранее, поэтому её также можно определить как науку о способах получения выводного знания.

Одна из главных задач логики — определить, как прийти к выводу из предпосылок (правильное рассуждение) и получить истинное знание о предмете размышления, чтобы глубже разобраться в нюансах изучаемого предмета мысли и его соотношениях с другими аспектами рассматриваемого явления.

 

Вполне корректное определение. Немного смущает «наука о способах получения выводного знания», это можно отнести к увлечению программированием или просто компьютерными науками авторов этого определения логики. Но, как оказалось, «выводное знание» фигурирует не только  в этом определении, это уже самостоятельное понятие.

Вот нашлось и нужное уточнение понятия логики:

 

Название науки логики происходит от греческого слова logos, что означает речь, мысль, разум. Сферой логики является интеллектуальная познавательная деятельность или процесс мышления. С учетом этого можно дать следующее определение науки логики: логика есть наука о законах, формах и приемах мышления, осуществляемого с помощью языка.

 

Исходя из этого определения, мы приходим к более четкому пониманию логики. В  этом уточнении мы находим один из поворотных моментов в развитии логики. Язык общения людей становится одним из важнейших инструментов логики. Развитие языка определяет и развитие логики. Слова стали определять развитие логики, как науки о мышлении.

Вот еще одно определение:

 

Ло́гика (др.-гр. λογική «наука о рассуждении», «искусство рассуждения» от λόγος — «речь», «рассуждение»).

1.      Наука о формах, методах и законах интеллектуальной познавательной деятельности, формализуемых с помощью логического языка.

2.      Наука о достижении истины в процессе познания с помощью выводного знания — знания, полученного опосредованным путём, посредством не чувственного опыта, а из знаний, полученных ранее; знания, полученного разумом.

3.      Наука о мышлении

4.      Научная дисциплина, изучающая способы доказательств и опровержений.

Выводное знание, полученное с помощью применения законов логики и методов логического мышления, — цель любого логического действия, нацеленного на достижение истины и применение полученного знания для более глубокого познания явлений и событий окружающего мира.

Одна из главных задач логики — определить, как прийти к выводу из предпосылок (правильное рассуждение) и получить истинное знание о предмете размышления, чтобы глубже разобраться в нюансах изучаемого предмета мысли и его соотношениях с другими аспектами рассматриваемого явления.

Логика служит базовым инструментом почти любой науки.

Слово «логика» используется также в значениях «внутренняя закономерность, присущая тем или иным явлениям» или «правильный, разумный ход рассуждений»[1]

 

Да, «выводное знание» присутствует и здесь. И еще…, читая эти определения логики, хотелось бы обратить внимание читателей на  правила определения понятий.

Понятна сложность формирования такого сложного понятия  как логика. Старой логики, искусства рассуждения, уже почти нет, а новой, такой общей, как науки о мышлении, еще нет. Есть формальная, математическая, которая в эту формулировку никак не укладывается, но занимает основное положение. Вот она, эта логика и занимает положение  «науки о достижении истины в процессе познания с помощью выводного знания … посредством не чувственного опыта, а из знаний, полученных ранее…».

Далее добавим, что:

 

Основная цель (функция) логики всегда оставалась неизменной: исследование того, как из одних утверждений можно выводить другие. При этом предполагается, что вывод зависит только от способа связи входящих в него утверждений и их строения, а не от их конкретного содержания. Изучая, «что из чего следует», логика выявляет наиболее общие или, как говорят, формальные условия правильного мышления[1].

 

А вот как говорит о логике Иммануил Кант[2]:

 

Границы же логики совершенно точно определяются тем, что она есть наука, обстоятельно излагающая и строго доказывающая одни только формальные правила всякого мышления (безразлично, априорное оно или эмпирическое, безразлично, каково его происхождение и предмет ...).

 

И…, следуя этому определению, разрабатывает трансцендентальную логику.

На это определение Канта мы обратим самое пристальное внимание. Формальные правила всякого мышления… Философского, математического, человеческого… и машинного, в конце концов…. Почему бы и нет?

 

Кант считает необходимым дополнить формальную логику более глубокой логической концепцией, позволяющей решать новые, более сложные познавательные задачи. Обосновываемая им Т.Л. должна была, по его мысли, отвлекаться "не от всякого содержания познания", а определять "происхождение, объем и объективную значимость априорных знаний". Называя ее трансцендентальной, Кант имел в виду то, что она "имеет дело только с законами рассудка и разума... лишь постольку, поскольку она априори относится к предметам". Она не вникает во все конкретные, субъективные процессы познания, рассматривая лишь некоторые "чистые возможности", имеющие всеобщее и необходимое значение. Содержательный характер Т.Л. приобретает, согласно Канту, за счет ее тесной и постоянной связи с чувственностью, соединение которой с рассудком только и дает новое знание. Исследование происхождения знаний о предметах становится одной из главных задач Т.Л., которая и выясняет саму возможность применения априорного знания к предметам опыта. Свою Т.Л. Кант подразделил на аналитику и диалектику, из которых первая излагает элементы чистого рассудочного знания и принципы, без которых ни один предмет не может быть мыслим, а вторая - является критикой рассудка и разума в его сверхфизическом применении. [См. "Критика чистого разума" (Кант), Трансцендентальная аналитика, Трансцендентальная диалектика.] Т. Г. Румянцева  История философии. Энциклопедия.

 

Современное понимание функции эмоций в физиологии и психологии человека показывает, что Кант  вполне объективен в оценке логики, как науки.

И все же, логика очень долго и мучительно уходит от человека, от его конкретного и эмоционального мышления к формальным законам и правилам, доказательству и обоснованию, не зависящим от конкретного человека. Она и сейчас не ушла от своего исходного эталона до конца. Логика, это все еще – «наука о правильном мышлении». Но уже есть и машинная логика, и формальная…. 

Ну вот, примерно разобрались, хотя бы в главном. В определении. Продолжим.

 

 

Метатеоретические проблемы и концепции логики.

Здесь мы снова отметим серьезные проблемы логики, как самостоятельной науки. Все метатеоретические проблемы логики касаются в основном … математики.

С концепциями[3] дело обстоит не лучше.

 

Метатеоретические проблемы логики[4]

·        Непротиворечивость формализованных теорий

·        Полнота формализованных теорий

·        Разрешимость формализованных теорий

·        Независимость аксиом формализованных теорий

·        Определимость

·        Сравнительный анализ логических теорий

 

Концепции логики

Концепции логики различаются между собой прежде всего по способам решения метатеоретических проблем логики, связанных с основаниями математики:

·        Психологизм

·        Логицизм

·        Формализм (математика)

·        Интуиционизм

·        Конструктивная математика

·        Консерватизм (логика)

 

Мы говорим о концептуальных направлениях. Об основах.

Смотрим:

 

Психологизм.

Психологизмтенденция в философии и гуманитарном знании к объяснению духовных явлений и идеальных сущностей работой индивидуального или коллективного сознания. Наиболее известны психологистические системы в логике и математике.

Логический психологизм представляет собой точку зрения в логике (или философии логики), согласно которой логические и математические законы укоренены в психологических фактах или законах, происходят из них или объясняются ими. Психологизм в философии математики — это точка зрения, согласно которой понятия и/или истины укоренены в психологических фактах или законах, происходят из них или объясняются ими.

 

Логицизм

Логицизм — одно из основных направлений математики, ставящее целью обосновать математику путем сведения ее исходных понятий к понятиям логики.

Мысль о сведении математики к логике высказывалась Лейбницем в конце 17 в. Практическое осуществление логицистического тезиса было предпринято в конце 19 — начале 20 вв. в работах Фреге, Уайтхеда и Рассела.  Взгляд на математику как на часть логики обусловлен тем, что любую математическую теорему в аксиоматической системе можно рассматривать как некоторое утверждение о логическом следовании. Остается только все встречающиеся в таких утверждениях константы определить через логические термины.

 

Формализм.

Формализм — один из подходов к философии математики, пытающийся свести проблему оснований математики к изучению формальных систем. Наряду с логицизмом и интуиционизмом считался в XX веке одним из направлений фундаментализма в философии математики.

 

Интуиционизм

Интуиционизм — система философских и математических идей и методов, связанных с пониманием математики как совокупности «интуитивно убедительных» умственных построений. С точки зрения интуиционизма, основным критерием истинности математического суждения является интуитивная убедительность возможности проведения мысленного эксперимента, связываемого с этим суждением. Поэтому в интуиционистской математике отвергается теоретико-множественный подход к определению математических понятий, а также некоторые способы рассуждения, принятые в классической логике.

Интуиционистская математика является достаточно разработанным направлением, которое достигло многих существенных результатов, в том числе и в таких областях, как теория меры, функциональный анализ, топология, теория дифференциальных уравнений.

 

Конструктивная математика

Конструктивная математика — абстрактная наука о конструктивных процессах, человеческой способности осуществлять их, и об их результатах — конструктивных объектах.

… Понимание существования объекта как потенциальной осуществимости приводит к тому, что логические законы, действующие в конструктивной математике, оказываются отличными от классических. В частности, теряет универсальную применимость закон исключённого третьего. Действительно, формула при конструктивном понимании выражает суждение

«среди формул и  потенциально осуществима верная»,

однако классический вывод дизъюнкции   не даёт никакого способа построить её верный член. Аналогичным образом, логическое опровержение предположения, что любой конструктивный объект рассматриваемого вида обладает некоторым свойством — считающееся в теоретико-множественной математике достаточным основанием признать «существующим» объект со свойством , — не может само по себе служить поводом для признания объекта со свойством  потенциально осуществимым. Следует заметить, однако, что за такого рода логическими опровержениями всё же признаётся определённая эвристическая ценность (так как они, хотя и не дают никакого способа построения искомого объекта, всё же указывают на осмысленность попыток такого построения). Конструктивные объекты, для которых удалось в рамках классической логики доказать их «существование», принято называть квазиосуществимыми.

 

Конструктивная логика.  

Конструктивная логика  - одно из направлений современ­ной логики, изучающее рассуждения о конструктивных объек­тах и процессах. Конструктивные объекты представляют собой или отдельные, ясно отличаемые друг от друга знаки, или последова­тельности таких знаков, получаемые посредством некоторого кон­структивного процесса, протекающего по четким дискретным пра­вилам. Примером конструктивного объекта могут служить легко отождествляемые и различаемые буквы к.-л. алфавита; конструк­тивный процесс — построение из них слов по однозначно опреде­ленным правилам. В конструктивном процессе используется аб­стракция потенциальной осуществимости, позволяющая отвлекаться от реальных конструктивных возможностей человека, связанных с ограниченностью его деятельности в пространстве и времени.

…Ограничение рассуждений конструктивными объектами и про­цессами ведет к отказу от закона исключенного третьего в приме­нении к бесконечным множествам. Отвергаются также закон сня­тия двойного отрицания (см.: Закон двойного отрицания), закон Клавия, некоторые варианты косвенного доказательства и др.

Термином «К. л.» иногда обозначается интуиционистская логи­ка. Чаще под К. л. понимается логическая теория, совпадающая по классу доказуемых формул с интуиционистской логикой, но не обращающаяся к представлению об «изначальной интуиции» и использующая при задании смысла логических операций понятие алгоритма и некоторые особые положения о конструктивных про­цессах (А. А. Марков, Н. А. Шанин и др.).

 

Последний абзац здесь говорит больше чем весь предыдущий текст.  Почему концепцию называют логикой не знаю, видимо, так удобнее…

 

 

 

Консерватизм

Сначала нашлись только общие определения:

 

Консерватизм (франц. conservatisme, от лат. conservo — охраняю, сохраняю), приверженность ко всему устаревшему, отжившему, косному; враждебность и противодействие прогрессу, всему новому, передовому в общественной жизни, науке, технике, искусстве.

 

Консерватизм (фр. conservatisme, от лат. conservo — сохраняю) — идеологическая приверженность традиционным ценностям и порядкам, социальным или религиозным доктринам. В политике — направление, отстаивающее ценность государственного и общественного порядка, неприятия «радикальных» реформ и экстремизма. Во внешней политике — ставка на укрепление безопасности, применение военной силы, поддержку традиционных союзников, во внешнеэкономических отношениях — протекционизм.

В консерватизме главной ценностью принимается сохранение традиций общества, его институтов, верований и даже «предрассудков».

 

Вот, почти логическое понимание:

 

Консерватизм как способ мышления тяготеет к конкретному мышлению: консервативный реформизм занимается отдельными деталями, заменой одних единичных факторов др. единичными факторами («улучшением») и не стремится к изменению системы как целого с целью устранения неудобных фактов.

… Методологически консервативная критика мышления, основанного на идее естественного права, включала следующие основные моменты: консерваторы заменили разум, на который постоянно ссылались их оппоненты, такими понятиями, как «история», «жизнь», «нация»; дедуктивным наклонностям оппонентов консерваторы противопоставили идею иррационального характера действительности; в ответ на либеральный постулат сущностного сходства индивидов консерваторы выдвинули проблему их радикального различия; либеральному убеждению, что все политические и социальные инновации имеют универсальное применение, консерваторы противопоставили понятие общественного организма.

 

Механицизм.

Это надо бы упомянуть, как еще одно концептуальное направление, прежде всего, философии:

 

Механицизм — существовавшие в прошлом метод познания и миропонимание, рассматривающие мир как механизм. В более широком смысле механицизм есть метод сведе́ния сложных явлений к их физическим причинам; противопоставлялся витализму.

Благодаря успехам физики в XVI-XVIII векам возникло желание перенести физическое миропонимание на другие науки. В качестве единственного метода подлинной науки рассматривалась математика, понимаемая (ввиду её тогдашнего уровня) в основном механистически.

 

МЕХАНИЦИЗМ (от греч. mechane, machine — орудие, машина) — теория, в соответствии с которой все явления полностью объяснимы на основе механических принципов; идея, что каждое явление представляет собой результат существования материи, находящейся в движении, и может быть объяснено на основе законов этого движения; теория универсального объяснения посредством действующей причины, противопоставляемой конечной причине, или цели; доктрина, гласящая, что природа, подобно машине, является таким целым, функционирование которого автоматически обеспечивается его частями. В космологии М. впервые был провозглашен Левкиппом и Демокритом, заявлявшими, что природа объяснима с помощью атомов, находящихся в движении, и пустоты. М. поддерживался Г. Галилеем и др. учеными 17 в. Согласно Р. Декарту, сущность материи состоит в протяженности, и все физические явления объяснимы через законы механики. М. в биологии представляет собой утверждение, что любые организмы могут быть полностью объяснены на основе механических принципов; противоположностью М. здесь является витализм.

 

Там же:

 

 МЕХАНИЦИЗМ — метод познания, основанный на признании механической формы движения материи единственно объективной. В своем конкретном применении механицизм выступает как крайняя форма редукционизма. Для него характерны отрицание качественной специфики более сложных материальных образований, сведение сложного к простым элементам, целого — к сумме его частей. Выдвигая на первый план механические формы движения, механицизм переносит понятия механики в область физики, химии и биологии и в духе механики трактует такие философские категории, как причинность, взаимосвязь и др.

 

Когда о механицизме так критично высказывается ученый 19 века, то это выглядит вполне убедительно, а когда мы читаем это в 21 веке, то убедительность критичного отношения как-то ослабевает. И даже наоборот, возникает понимание того, что именно так и надо подходить к познанию…

Вот определение, вроде бы подтверждающее эту точку зрения:

 

   МЕХАНИЦИЗМ — миропонимание, основанное на убеждении в том, что явление любого уровня сложности может быть описано на языке математической механики, которая рассматривается как универсальный родовой язык науки; или, что то же, — любое научное описание, в принципе, редуцируемо к механическому, обеспечивающему высшую меру точности, строгости и полноты. Как становление М., так и его преодоление в новейшее время связаны с развитием математической физики. На первом этапе (17 в.) на основе введения в описание переменной величины и возникновения аналитической геометрии обнаруживается аналогия между физическими процессами в картезианской геометродинамике и детерминизмом машины, движение любой части которой детерминировано положением и движением др., связанных с данной, частей. Характерное качество такой машиноподобной системы — то, что всякое ее состояние есть следствие предыдущего состояния и причина последующего. Механизм машины распространяется в качестве методологического эвристического принципа, дающего адекватное объяснение; на биологические и психические процессы и даже на сознание.

 

Автора этого определения можно понять. Принято критиковать, а на достигнутом уровне технического развития это уже почти невозможно. Компьютер поменял отношение к механицизму, даже философское…

Да, «… качество ... системы  – то, что всякое её состояние есть следствие предыдущего состояния и причина последующего…», теперь мы это знаем точно. Это о компьютере.

Сегодняшнее развитие техники сдвинуло отношение к механицизму с критической иронии к утверждению его уже как  главного пути  в познании истины. На основе математики. По крайней мере, логика находится на этом направлении своего развития. Здесь её метатеоретические проблемы, которые требуют решения, для этого направления разрабатываются и основные концепции развития. Как-то незаметно спутались логика и математика в один клубок общих проблем, уже и не разобрать, где – что…

 


 

Составляющие логики.

 

 

 

Теперь попробуем разобраться, с инструментами логики.

Логика, с давно выработанными законами, системой понятий,  отработанным перечнем действий, со средних веков была и есть самостоятельная и вполне точная наука.  Хотя, можно предположить, что специалисты по математической логике думают наоборот. Для них логика только превращается в точную науку, основанную на строгих математических законах.  Посмотрите, как странно переплелись логика и математика в логических законах…

 

Законы логики.

Как и любая наука, логика начинается с законов. С основы построения системы логического мышления. Вот что нашлось:

·    Закон тождества

·    Закон исключённого третьего

·    Закон противоречия

·    Закон достаточного основания

·    Законы де Моргана

·    Законы дедуктивных умозаключений

·    Закон Клавия

·    Законы деления

Закон тождества.

Зако́н то́ждества закон логики, согласно которому в процессе рассуждения каждое осмысленное выражение (понятие, суждение) должно употребляться в одном и том же смысле. Предпосылкой его выполнимости является возможность различения и отождествления тех объектов, о которых идёт речь в данном рассуждении.[1] Мысль о предмете должна иметь определённое, устойчивое содержание, сколько бы раз она ни повторялась. Важнейшее свойство мышления - его определённость - выражается данным логическим законом[2][3][4][5].

Впервые[3] закон тождества сформулирован Аристотелем в трактате «Метафизика» следующим образом:

«…иметь не одно значение – значит не иметь ни одного значения; если же у слов нет (определенных) значений, тогда утрачена всякая возможность рассуждать друг с другом, а в действительности – и с самим собой; ибо невозможно ничего мыслить, если не мыслить (каждый раз) что-нибудь одно» — Аристотель, "Метафизика"[6]

 

Закон исключённого третьего.

Закон исключённого третьего  (лат. tertium non datur, то есть «третьего не дано») — закон классической логики, состоящий в том, что из двух высказываний — «А» или «не А» — одно обязательно является истинным, то есть два суждения, одно из которых является отрицанием другого, не могут быть одновременно ложными (либо истинными), одно из них необходимо истинно, а другое ложно. Закон исключённого третьего является одним из основополагающих принципов «классической математики».

С «интуиционистской» (и, в частности, «конструктивистской)» точки зрения, установление истинности высказывания вида «А или не А» означает либо а)установление истинности , либо б)установление истинности его отрицания . Поскольку, вообще говоря, не существует общего метода, позволяющего для любого высказывания за конечное число шагов установить его истинность или истинность его отрицания, закон исключённого третьего не должен применяться в рамках интуиционистского и конструктивного направлений в математике как аксиома.

 

Закон непротиворечия (противоречия)

Закон непротиворечия (закон противоречия) — закон логики, который гласит, что два несовместимых (противоречащих либо противоположных) суждения не могут быть одновременно истинными. По крайней мере одно из них необходимо ложно.[1]

Математическая запись

где  — знак конъюнкции,   — знак отрицания.

Закон противоречия является фундаментальным логическим законом, на котором построена вся современная математика. Он является тавтологией классической логики, а также большинства неклассических логик, в том числе интуиционистской логики. Все же, существуют нетривиальные логические системы, в которых он не соблюдается, например логика Клини.

Закон противоречия говорит о том, что если одно суждение что-то утверждает, а другое то же самое отрицает об одном и том же объекте, в одно и то же время и в одном и том же отношении, то они не могут быть одновременно истинными.

 

Законы де Мо́ргана

Законы де Мо́ргана (правила де Мо́ргана) — логические правила, связывающие пары дуальных логических операторов при помощи логического отрицания.

 

Законы де Мо́ргана -общее название логических законов, связывающих с помощью отрицания конъюнкцию ("и") и дизъюнкцию ("или"). Названы именем англ. логика XIX в. А. де Моргана.

Один из этих законов можно выразить так: отрицание конъюнкции эквивалентно дизъюнкции отрицаний. Напр.: "Неверно, что завтра будет холодно и завтра будет дождливо, тогда и только тогда, когда завтра не будет холодно или завтра не будет дождливо".

Другой закон: отрицание дизъюнкции эквивалентно конъюнкции отрицаний. Напр.: "Неверно, что ученик знает арифметику или знает геометрию, тогда и только тогда, когда он не знает ни арифметики, ни геометрии".

… На основе этих законов, используя отрицание, связку "и" можно определить через "или", и наоборот: "р и q" означает "Неверно, что не-р или не-q", "р или q" означает "Неверно, что не-р и не-q".

Напр., "Идет дождь и идет снег" означает "Неверно, что нет дождя или нет снега"; "Сегодня холодно или сыро" означает "Неверно, что сегодня не холодно и не сыро".

 

Вот об этом интересная цитата:

 

«Противоречащая противоположность дизъюнктивного суждения — конъюнктивное суждение, составленное из противоречащих противоположностей частей дизъюнктивного суждения (The contradictory opposite of a disjunctive proposition is a conjunctive proposition composed of the contradictories of the parts of the disjunctive proposition)» (Уильям Оккам, Summa Logicae).

 

Мы понимаем, что разговор идет о математической логике, точнее о теоремах алгебры логики.

 

Закон достаточного основания

Зако́н доста́точного основа́ния закон логики, который формулируется следующим образом: всякое положение для того, чтобы считаться вполне достоверным, должно быть доказанным, т. е. должны быть известны достаточные основания, в силу которых оно считается истинным.[1][2][3][4]
Допустим, что учащийся, слушая рассказ учителя, встречается с рядом неизвестных ему положений. Например, он узнаёт, что древние египтяне имели совершенные музыкальные инструменты, что некоторые ультразвуки убивают простейшие живые организмы, что если в Средней Азии произойдёт землетрясение, то образовавшиеся при этом волны достигнут Москвы через несколько минут. Учащийся вправе сомневаться в истинности этих положений до тех пор, пока они не будут доказаны, объяснены, обоснованы. Как только они будут доказаны, как только будут приведены достаточные основания, подтверждающие их истинность, сомневаться в них уже нельзя. Другими словами: всякое доказанное положение непременно истинно.
[1]

Закон достаточного основания направлен против нело­гичного мышления, принимающего на веру ничем не обоснованные суждения, против всякого рода предрассудков и суеверий; он выражает то фундаментальное свойство логической мысли, которое называют обоснованностью или доказанностью. Запрещая принимать что-либо только на веру, этот закон выступает надежной преградой для любого интеллектуального мошенничества. Он является одним из главных принципов науки (в отличие от псевдонауки)[3].

 

Закон Клавия.

Закон Клавия  — логический закон, характеризующий связь импликации («если, то») и отрицания. Его можно передать так: если из отрицания некоторого высказывания вытекает само это высказывание, то оно является истинным. Или короче: высказы­вание, вытекающее из своего собственного отрицания, истинно. Иначе говоря: если необходимым условием ложности некоторого высказывания является его истинность, то это высказывание ис­тинно. Напр., если условием того, чтобы машина не работала, является ее работа, то машина работает. Закон назван именем Клавия — ученого иезуита, жившего в XVI в., одного из создателей григорианского календаря. Клавий обратил внимание на этот закон в своем комментарии к «Нача­лам» Евклида. Одну из своих теорем Евклид доказал из допуще­ния, что она является ложной. С использованием символики логической (р — некоторое выска­зывание; -> - условная связь, «если, то»; ~ - отрицание, «невер­но, что») 3. К. представляется формулой: (~р->р)->р, если не-р имплицирует р, то верно р. 3. К. лежит в основе рекомендации, касающейся доказательства: если хочешь доказать А, выводи A из допущения, что верным яв­ляется не-А.

 

Законы дедуктивных умозаключений

Дедукция (лат. deductio — выведение) — метод мышления, при котором частное положение логическим путем выводится из общего, вывод по правилам логики; цепь умозаключений (рассуждений), звенья которой (высказывания) связаны отношением логического следования.

Началом (посылками) дедукции являются аксиомы, постулаты или просто гипотезы, имеющие характер общих утверждений («общее»), а концом — следствия из посылок, теоремы («частное»). Если посылки дедукции истинны, то истинны и ее следствия. Дедукция — основное средство доказательства. Противоположно индукции.

 

Тогда придется тут же рассмотреть и индуктивную логику или то, что чаще называют индукцией.

 

Индуктивное умозаключение.

Индукция (лат. inductio — наведение) — процесс логического вывода на основе перехода от частного положения к общему. Индуктивное умозаключение связывает частные предпосылки с заключением не строго через законы логики, а скорее через некоторые фактические, психологические или математические представления.[1]

Объективным основанием индуктивного умозаключения является всеобщая связь явлений в природе.

Различают полную индукцию — метод доказательства, при котором утверждение доказывается для конечного числа частных случаев, исчерпывающих все возможности, и неполную индукцию — наблюдения за отдельными частными случаями наводят на гипотезу, которая, конечно, нуждается в доказательстве. Также для доказательств используется метод математической индукции.

Аристотель указал на особенности индуктивного умозаключения (Аналит. I, кн. 2 § 23, Анал. II, кн. 1 § 23; кн. 2 § 19 etc.). Он определяет его как восхождение от частного к общему. Он отличал полную индукцию от неполной, указал на роль индукции при образовании первых принципов, но не выяснил основы неполной индукции и её права. Он рассматривал её как способ умозаключения, противоположный силлогизму. Силлогизм, по мнению Аристотеля, указывает посредством среднего понятия на принадлежность высшего понятия третьему, а индукция третьим понятием показывает принадлежность высшего среднему.

… Сущность учения Бэкона сводится к тому, что при постепенном обобщении нужно придерживаться известных правил, то есть нужно сделать три обзора всех известных случаев проявления известного свойства у разных предметов: обзор положительных случаев, обзор отрицательных (то есть обзор предметов, сходных с первыми, в которых, однако, исследуемое свойство отсутствует) и обзор случаев, в которых исследуемое свойство проявляется в различных степенях, и отсюда делать уже обобщение («Nov. Org.» LI, aph. 13). По методу Бэкона нельзя сделать нового заключения, не подводя исследуемый предмет под общие суждения, то есть не прибегая к силлогизму.

… Аристотель, Бэкон и Милль представляют собой главные моменты развития учения об И.;

 

Тут мы видим вполне ощутимые военные действия …

Надо отметить основное:

 

Задача логики состоит в том, чтобы указать границы, за пределами которых индуктивный вывод перестаёт быть правомерным, а также вспомогательные приёмы, которыми пользуется исследователь при образовании эмпирических обобщений и законов. Несомненно, что опыт (в смысле эксперимента) и наблюдение служат могущественными орудиями при исследовании фактов, доставляя материал, благодаря которому исследователь может сделать гипотетическое предположение, долженствующее объяснить факты.

Таким же орудием служит и всякое сравнение и аналогия, указывающие на общие черты в явлениях, общность же явлений заставляет предположить, что мы имеем дело и с общими причинами; таким образом, сосуществование явлений, на которое указывает аналогия, само по себе ещё не заключает в себе объяснения явления, но доставляет указание, где следует искать объяснения. Главное отношение явлений, которое имеет в виду И., — отношение причинной связи, которая, подобно самому индуктивному выводу, покоится на тождестве, ибо сумма условий, называемая причиной, если она дана в полноте, и есть не что иное, как вызванное причиной следствие. Правомерность индуктивного заключения не подлежит сомнению; однако логика должна строго установить условия, при которых индуктивное заключение может считаться правильным; отсутствие отрицательных инстанций ещё не доказывает правильности заключения. Необходимо, чтобы индуктивное заключение основывалось на возможно большем количестве случаев, чтобы эти случаи были по возможности разнообразны, чтобы они служили типическими представителями всей группы явлений, которых касается заключение, и т. д.

При всём том индуктивные заключения легко ведут к ошибкам, из которых самые обычные проистекают от множественности причин и от смешения временного порядка с причинным. В индуктивном исследовании мы всегда имеем дело со следствиями, к которым должно подыскать причины; находка их называется объяснением явления, но известное следствие может быть вызвано целым рядом различных причин; талантливость индуктивного исследователя в том и заключается, что он постепенно из множества логических возможностей выбирает лишь ту, которая реально возможна.

 

Ну что же, жестко, но вполне критично и объективно…

 

Законы деления (дихотомия)

Законы деления (дихотомия[5]) логики созданы для классификации и систематизации разных понятий.

Основные принципы деления:

·        деление должно быть соразмерным;

·        деление на каждом его этапе должно производиться по одному основанию;

·        члены деления должны исключать друг друга, то есть не должны пересекаться;

·        деление не должно быть скачкообразным.

 

Наиболее типичными ошибками при делении объёма понятия являются следующие:

·        неполное деление объёма понятия;

·        слишком обширное деление;

·        скачок в делении — логическая ошибка, вызванная нарушением правила «деление должно быть непрерывным».

 

Без комментариев…

Но, как оказалось, этими законами логика не ограничивается.

Продолжим. Материалы взяты здесь:

 

ЗАКОН КОСВЕННОГО ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

Закон косвенного доказательства позволяет заключить об истинности какого-то высказывания на основании того, что отрицание этого высказывания влечёт противоречие. Например: «Если из того, что 17 не является простым числом, вытекает как то, что оно делится на число, отличное от самого себя и единицы, так и то, что оно не делится на такое число, то 17 есть простое число».

Символически закон косвенного доказательства записывается так:

(~ АВ) & (~ А → ~ В)А,

если (если не-А, то В) и (если не-А, то не-В), то А.

Законом косвенного доказательства обычно называется и формула:

(~ А & ~ В))А,

если (если не—А, то В и не-B), то А. К примеру: «Если из того, что 10 не является чётным числом, вытекает, что оно делится и не делится на 2, то 10 – чётное число».

 

ЗАКОН ПРИВЕДЕНИЯ К АБСУРДУ

Редукция к абсурду (приведение к нелепости) – это рассуждение, показывающее ошибочность какого-то положения путём выведения из него абсурда, т.е. логического противоречия. Если из высказывания А выводится как высказывание В, так и его отрицание, то верным является отрицание А. Например, из высказывания «Треугольник – это окружность» вытекает с одной стороны то, что треугольник имеет углы (быть треугольником значит иметь три угла), с другой, что у него нет углов (поскольку он окружность); следовательно, верным является не исходное высказывание, а его отрицание «Треугольник не является окружностью».

Закон приведения к абсурду представляется формулой:

В) & (А → ~ В) → ~ А,

если (если А, то В) и (если А, то не-B ), то не-А

Приведение к нелепости, замечает математик Д. Пойа, имеет некоторое сходство с иронией, любимым приёмом сатирика: ирония принимает определённую точку зрения, подчёркивает её и затем настолько её утрирует, что в конце концов приводит к явному абсурду.

Частный закон приведения к абсурду представляется формулой:

(А → ~ А) → ~ А,

если (если А, то не-A ), то не—А. Например, из положения «Всякое правило имеет исключения», которое само является правилом, вытекает высказывание «Есть правила, не имеющие исключений»» значит, последнее высказывание истинно.

 

ЗАКОНЫ КОНТРАПОЗИЦИИ

Законы контрапозиции говорят о перемене позиций высказываний с помощью отрицания: из условного высказывания «если есть первое, то есть второе» вытекает «если нет второго, то нет и первого», и наоборот.

Символически:

В)( ~ В → ~ А),

если дело обстоит так, что если А, то В, то если не—В, то не-А;

( ~ В → ~ А)В),

если дело обстоит так, что если не-В, то не-А, то если А, то В.

К примеру: из высказывания «Если есть следствие, то есть и причина» следует высказывание «Если нет причины, нет и следствия», и из второго высказывания вытекает первое.

К законам контрапозиции обычно относят также законы:

→ ~ В) → ~ А),

если дело обстоит так, что если А, то не-B, то если В, то не-А Например, «Если квадрат не является треугольником, то треугольник не квадрат»;

(~ АВ)(~ ВА),

если верно, что если не-А, то В, то если не-B то А. К примеру: «Если не являющееся очевидным сомнительно, то не являющееся сомнительным очевидно».

Контрапозиция подобна рокировке в шахматной игре. И подобно тому, как редкая партия проходит без рокировки, так и редкое наше рассуждение обходится без контрапозиции.

 

ЗАКОН ДВОЙНОГО ОТРИЦАНИЯ

Этим именем называется закон логики, позволяющий отбрасывать двойное отрицание. Этот закон можно сформулировать так: отрицание отрицания даёт утверждение, или: повторенное дважды отрицание даёт утверждение. Например: «Если неверно, что Вселенная не является бесконечной, то она бесконечна».

Закон двойного отрицания был известен ещё в античности. В частности, древнегреческие философы Зенон Элейский и Горгий излагали его следующим образом: если из отрицания какого-либо высказывания следует противоречие, то имеет место двойное отрицание исходного высказывания, то есть оно само.

В символической форме закон записывается так:

~~ АА,

если неверно, что не-А, то верно А.

Другой закон логики, говорящий о возможности не снимать, а вводить два отрицания, принято называть обратным законом двойного отрицания: утверждение влечёт своё двойное отрицание. Например: «Если Шекспир писал сонеты, то неверно, что он не писал сонеты».

Символически:

A → ~~ A

если А, то неверно что не—А.

Объединение этих законов даёт так называемый полный закон двойного отрицания:

~~ АА,

неверно, что не-А, если и только если верно А.

 

 

 

Логические правила

Эти правила логики со средневековыми названиями оказываются вполне современными и сегодня рассматриваются как логические законы, но мы все же разделили их.

 Материал взят здесь:

 

Слово «модус» в логике означает разновидность некоторой общей формы рассуждения.

 

МОДУС ПОНЕНС

 «Модус поненс» – термин средневековой логики, обозначающий определённое правило вывода и соответствующий ему логический закон.

Правило вывода модус поненс, обычно называемое правилом отделения или гипотетическим силлогизмом, позволяет от утверждения условного высказывания и утверждения его основания (антецедента) перейти к утверждению следствия (консеквента) этого

Здесь «если А, то B » и «А » – посылки, «B » – заключение; горизонтальная черта стоит вместо слова «следовательно». Другая запись:

Если А, то B. А. Следовательно, В.

Благодаря этому правилу от посылки «если А, то В », используя посылку «А », мы как бы отделяем заключение «B ».

Например:

Если у человека грипп, он болен.

У человека грипп.

Человек болен.

Это правило постоянно используется в наших рассуждениях. Впервые оно было сформулировано, насколько можно судить, учеником Аристотеля Теофрастом ещё в III в. до н.э.

Соответствующий правилу отделения логический закон формулируется так:

В) & АВ,

если верно, что если А, то В, и А, то верно В. Например: «Если при дожде трава растёт быстрее и идёт дождь, то трава растёт быстрее».

Рассуждение по правилу модус понёс идёт от утверждения основания истинного условного высказывания к утверждению его следствия. Это логически корректное движение мысли иногда путается со сходным, но логически неправильным её движением от утверждения следствия истинного условного высказывания к утверждению его основания.

Например, правильным является умозаключение:

Если висмут – металл, он проводит электрический ток.

Висмут – металл.

Висмут проводит электрический ток.

 

Но внешне сходное с ним умозаключение:

Если висмут – металл, он проводит электрический ток.

Висмут проводит электрический ток.

Висмут металл.

логически некорректно.

 

Рассуждая по последней схеме, можно от истинных посылок прийти к ложному заключению.

Например:

Если человек собирает марки, он коллекционер.

Человек – коллекционер.

Человек собирает марки.

 

Далеко не все коллекционеры собирают именно марки; из того, что человек коллекционер, нельзя заключать, что он собирает как раз марки. Истинность посылок не гарантирует истинности заключения.

Против смешения правила модус поненс с указанной неправильной схемой предостерегает совет: от подтверждения основания к подтверждению следствия заключать можно, от подтверждения следствия к подтверждению основания – нет.

 

МОДУС ТОЛЛЕНС

Так средневековые логики называли следующую схему рассуждения:

Другая запись:

Если А, то В. Не-B. Следовательно, не-A.

Эта схема часто называется принципом фальсификации: если из какого-то утверждения вытекает следствие, оказывающееся ложным, это означает, что и само утверждение ложно. Посредством схемы от утверждения условного высказывания и отрицания его следствия осуществляется переход к отрицанию основания данного высказывания. Например:

Если гелий – металл, он электропроводен.

Гелий неэлектропроводен.

Гелий – не металл.

 

 

МОДУС ПОНЕНДО ТОЛЛЕНС

Этим именем средневековые логики обозначали следующие схемы рассуждения:

Другая запись:

Либо А, либо В. А. Следовательно, не-B.

Либо А, либо В. В. Следовательно, не-А.

 

Посредством этих схем от утверждения двух взаимоисключающих альтернатив и установления того, какая из них имеет место, осуществляется переход к отрицанию второй альтернативы: либо первое, либо второе, но не оба вместе; есть первое; значит, нет второго. Например:

Достоевский родился либо в Москве, либо в Петербурге.

Он родился в Москве.

Неверно, что Достоевский родился в Петербурге.

 

Дизъюнкция, входящая в данную схему, является исключающей, она означает: истинно первое или истинно второе, но не оба вместе. Такое же рассуждение, но с неисключающей дизъюнкцией (первое или второе, но возможно, что и первое, и второе), логически неправильно.

От истинных посылок оно может вести к ложному заключению:

На Южном полюсе был Амундсен или был Скотт.

На Южном полюсе был Амундсен.

Неверно, что там был Скотт.

 

Обе посылки истинны: и Амундсен, и Скотт достигли Южного полюса, заключение же ложно, Правильным является умозаключение:

На Южном полюсе первым был Амундсен или Скотт.

На этом полюсе первым был Амундсен.

Неверно, что там первым был Скотт.

 

МОДУС ТОЛЛЕНДО ПОНЕНС

Этим термином средневековые логики обозначали разделительно-категорическое умозаключение: первое или второе; не первое; значит, второе. Первая посылка умозаключения – разделительное (дизъюнктивное) высказывание, вторая – категорическое высказывание, отрицающее один из членов дизъюнкции; заключением является другой её член:

Или:

Другая форма записи:

А или В. Не-А Следовательно, В.

А или В. Не-В. Следовательно, А.

 

Например:

Множество является конечным или оно бесконечно.

Множество не является конечным.

Множество бесконечно.

 

Иногда эту схему рассуждения именуют дизъюнктивным силлогизмом.

С использованием логической символики умозаключение формулируется так:

Или:

В современной логике модус толлендо поненс называется также правилом удаления дизъюнкции. Ему соответствует логический закон:

(A v B) & ~ AB,

если А или В и ~ А, то В.

 

 

 

 

Логическая операция.

В Википедии находим:

 

В логике логическими операциями[6] называют действия, вследствие которых порождаются новые понятия, возможно с использованием уже существующих. В более узком, формализованном смысле, понятие логической операции используется в математической логике и программировании.

 

Первую часть формулировки надо взять в рамочку и повесить на стенку, для памяти. Вот это – из логики.  Вторая часть к логике отношения не имеет.

Потому, это мы выделим отдельно. По той же причине, это логические операции «от логики»:

 

Логические операции: определение, классификация, доказательство, опровержение и др. — нередко применяются каждым человеком в его мыслительной деятельности неосознанно и с погрешностями.

 

Далее будем уже внимательно присматриваться:

 

Логические операции с понятиями — такие мыслительные действия, результатом которых является изменение содержания или объёма понятий, а также образование новых понятий.

К операциям, которые связаны преимущественно с изменением содержания понятий, относятся:

·        отрицание;

·        ограничение ;

·        обобщение ;

·        деление.

 

Вот эти операции снова можно отнести к логике, как самостоятельной науке. И «деление» тут –  дихотомия, а не деление «на части». Так надо понимать…

Всё, что дальше – математика:

 

К операциям, которые связаны преимущественно с объёмами понятий, относятся:

·        сложение;

·        умножение;

·        вычитание.

Данные операции могут быть записаны математически с помощью теории множеств.

Переход же к математической логике связан с понятием суждений и установлением операций над ними с целью получения сложных суждений.

 

Логическая операция (логический оператор, логическая связка, пропозициональная связка) — операция над высказываниями, позволяющая составлять новые высказывания путем соединения более простых[1].

В качестве основных обычно называют конъюнкцию ( или &), дизъюнкцию ( ), импликацию ( ), отрицание ( ). В смысле классической логики логические связки могут быть определены через алгебру логики. В асинхронной секвенциальной логике определена логико-динамическая связка в виде операции венъюнкции ( ).

 

Теперь посмотрим логические операции:

 

Определение.

Определение, дефиниция (лат. definitio — предел, граница) — логическая процедура придания строго фиксированного смысла терминам языка[1]. Термин, над которым проводится операция дефиниции, называется дефидентом.

 

Вот еще одно мнение:

 

  Определение - это логическая операция, раскрывающая содержание понятия посредством его отождествления с другим понятием, содержание и объем которого известны.
         В определении выделяют два основных элемента: определяемое (definiendum) и определяющее (definiens) понятия.

 

Правила определения и типичные ошибки

1.      Определение должно быть соразмерным, т. е. по объему определяемое и определяющее понятия должны быть равны (тождественны).

  Типичные ошибки, связанные с нарушением этого правила, следующие:

·        Слишком широкое определение, когда определяющее понятие по объему оказывается шире, чем определяемое понятие, например, "Гравитация - это взаимодействие двух материальных тел", "Лампа - источник света". В данных определениях определяющие понятия значительно шире по объему, чем определяемые, ибо взаимодействие материальных тел включает в себя не только гравитацию, но и электромагнитные взаимодействия, ядерные взаимодействия, соударения; а источники света - помимо лампы - вообще трудно перечислить из-за их многочисленности, это и электрические фонари, свечи и спички, Солнце и звезды…

·        Слишком узкое определение, когда определяющее понятие по объему меньше, чем определяемое понятие, например, "Треугольник есть плоская геометрическая фигура с тремя равными сторонами", это определение исключает из числа треугольников разносторонние треугольники.

·        В одном отношении слишком широкое, а в другом - слишком узкое определение, например, "Бочка есть сосуд для хранения жидкостей". С одной стороны, это слишком широкое определение, так как сосудом для хранения жидкостей может быть и банка, и ведро и т. п.; с другой стороны, это определение является слишком узким, так как бочка пригодна не только для хранения жидкостей, но и твердых тел.

2.      Недопустимость "порочного круга" в определении. Понятия, входящие в определяющую часть, сами должны определяться без помощи определяемого понятия. Здесь мы впервые встречаемся с "порочным кругом", который проникает во многие логические операции.
        Например, в определении "Вращение есть движение вокруг своей оси" будет допущена ошибка круга, если понятие "ось" само определяется через понятие "вращение": ось - это прямая, вокруг которой происходит вращение. Частным случаем этой ошибки является тавтология - повторение в определяющей части самого определяемого понятия, например: "Сканер есть прибор, осуществляющий сканирование", "Фильтрование - процесс разделения с помощью фильтра".

3.        Определение должно быть четким и ясным, т. е. смысл, содержание всех понятий, входящих в определяющую часть, должен быть ясен и их объемы должны быть достаточно четко ограничены. Требование кажется весьма простым, однако его не всегда легко выполнить, ибо слова нашего естественного языка часто имеют весьма расплывчатые значения и мы порой склонны принимать за определения метафоры, сравнения и иные риторические фигуры. Например, не являются определениями следующие утверждения: "Быстрота - мать успеха", "Пехота - царица полей", "Хлеб - всему голова" и т. п., ибо хотя они, может быть, и остроумны, однако не раскрывают содержания определяемых понятий.

4.        Желательно, чтобы определение не было отрицательным. Определение должно нести информацию, отрицательные же определения содержат ничтожно малую информацию.

Приемы, сходные с определением

 Когда трудно или невозможно дать определение мы прибегаем к другим способам разъяснения смысла понятий:

1.      Описание состоит в перечислении внешних черт предмета с целью нестрогого отличения его от сходных с ним предметов. Описание, как правило, дает чувственно-наглядный образ предмета, включающий как его существенные, так и несущественные черты. В романе "Мастер и Маргарита" М, А. Булгаков так описывает Воланда: "…Ни на какую ногу описываемый не хромал и росту был не маленкого и не громадного, а просто высокого. Что касается зубов, то с левой стороны у него были платиновые коронки, а с правой - золотые┘ Художественная литература полна таких описаний.

2.      Характеристика дает перечисление лишь наиболее важных в том или ином отношении признаков предметов и явлений. Почти всем нам знакомы характеристики или рекомендации, выдаваемые школой или учреждением, в которых мы учились или работали. В художественной литературе вместо длинных описаний мы часто встречаем краткие характеристики персонажей, обрисовывающие их одной-двумя чертами.

3.      Сравнение указывает на сходство предметов, порой неожиданное, и позволяет лучше понять или по-новому осветить их черты и свойства. Этот прием особенно часто используется в поэзии.

 

В последнем пункте, как мне кажется, автор несколько неточен. Сравнение имеет более высокий статус в иерархии логических действий, чем описание и характеристика. Сравнивая предметы или понятия,  мы находим характеристики, создаем описание смысла исследуемых понятий, формируем предпосылки для более четкого определения.

 

Классификация.

Классификация (классифицирование) (от лат. classis- разряд и facere-делать) — особый случай применения логической операции деления объема понятия, представляющий собой некоторую совокупность делений (деление некоторого класса на виды, деление этих видов и т.д.). Классификация предназначена для постоянного использования в какой-либо науке или области практической деятельности (например, классификация животных и растений). Обычно в качестве основания деления в классификации выбирают признаки, существенные для данных предметов. В этом случае классификация (называемая естественной) выявляет существенные сходства и различия между предметами и имеет познавательное значение. В других случаях, когда цель классификации состоит лишь в систематизации предметов, в качестве основания выбираются признаки, удобные для этой цели, но несущественные для самих предметов (например, алфавитные каталоги). Такие классификации называют искусственными. Наиболее ценными являются классификации, основанные на познании законов связи между видами, перехода от одного вида к другому в процессе развития (такова, например, классификация химических элементов, созданная Менделеевым). Классификация по существенным признакам называется типологией; она основана на понятии типа, как единицы расчленения изучаемой реальности, конкретной идеальной модели исторически развивающихся объектов (биологические, языковые и т.п. типологии). Всякая классификация является результатом некоторого огрубления действительных граней между видами, ибо они всегда условны и относительны. С развитием знаний происходит уточнение и изменение классификаций.

 

Доказательство.

Вот это уже чисто логический метод определения истины. Тут будем внимательны.

Сначала дадим наиболее общее определение:

 

Доказательства вообще — Доказательство (Demonstratio) есть выведение истинности какого-либо положения (на основании силлогистических законов) из других положений. Доказывать можно лишь положения (понятия могут быть определяемы, факты — объясняемы и показываемы), и притом не все. Некоторые положения, обладающие самоочевидностью — аксиомы - не могут быть доказаны, а сами служат основанием всякого возможного Д. Иногда характер аксиомы приписывают положениям, которые не обладают самоочевидностью, но пользуются всеобщим признанием (напр. нравственные правила) и потому служат основой Д., хотя с точки зрения логической такое расширение понятия аксиомы недопустимо. Основанием для Д. может служить, кроме аксиом, еще и определение (напр. в юридических науках). Каждый волен дать определение понятия какое ему угодно, лишь бы оно не заключало в себе противоречия, и из него выводить следствия, которые должны считаться доказанными, если вывод сделан логически правильно, истинными же — лишь в той мере, в какой истинно определение, из которого они выведены. Факты сами по себе не могут служить основанием Д. (как, напр., учит Владиславлев в своей логике), а лишь инстанциями, из которых составляется довод в пользу того или иного положения. …

 

Теперь сосредоточимся на доказательстве, как методе:

 

Доказательство — это логическая операция обоснования на истинности утверждения с помощью фактов и других истинных связанных с ним суждений. Познание отдельных фактов, предметов, их свойств происходит посредством форм чувственного познания (ощущений и восприятий) и высказывания вспомогательных суждений и утверждений. Мы видим, что этот дом ещё не достроен, ощущаем вкус горького лекарства и так далее. Эти истины и факты не подлежат особому доказательству, они очевидны. Во многих случаях, например на лекции, в сочинении, в научной работе, в докладе, на защите диссертации и во многих других, приходится доказывать, обосновывать высказанные суждения и утверждения. Доказательность и обоснованность важное качество правильного мышления взрослых людей.

Теория доказательства и опровержения является в современных условиях средством формирования научно обоснованных и юридически грамотных убеждений и утверждений.

Доказательство — это совокупность логических приемов обоснования истинности какого-либо суждения с помощью других истинных и связанных с ним суждений. Доказательство связано с убеждением, но не тождественно ему: доказательства должны основываться на данных науки и общественно-исторической практики, убеждения же могут быть основаны, например, на религиозной вере в догматы церкви, на предрассудках, на неосведомлённости людей в вопросах экономики и политики, на видимости доказательности, основанной на различного рода софизмах.

 

Вот тут надо бы остановиться и разобраться. Эти два определения доказательства явно направлены в разные стороны и противоборствуют. В то же время они даны в одном материале и должны дополнять друг друга. Видимо,… дополняют.

Продолжим там же:

 

… Доказательства по форме делятся на прямые и (косвенные).

Прямое доказательство идет от рассмотрения аргументов к доказательству утверждаемого тезиса, то есть истинность доказательства непосредственно обосновывается аргументами. Широко используется прямое доказательство в статистических отчетах, в различного рода документах, в постановлениях.

Непрямое (Косвенное) доказательство — это доказательство, в котором истинность выдвинутого тезиса обосновывается путём доказательства ложности утверждаемого антитезиса. Оно применяется тогда, когда нет аргументов для прямого доказательства. Антитезис может быть выражен в одной из двух форм:

·        если тезис обозначить буквой а, то его отрицание (а) будет антитезисом, то есть противоречащим тезису суждением;

·        антитезисом для тезиса а в суждении а ... в ... с служат суждения в и с.

В зависимости от этого различия в структуре антитезиса косвенные доказательства делятся на два видаапагогическое (доказательство от «противного») и разделительное доказательство (методом исключения). Первое осуществляется путем установления ложности противоречащего тезису суждения. Этот метод часто используется в математике. Во втором антитезис является одним из членов разделительного суждения, в котором должны быть обязательно перечислены все возможные альтернативы, например: Преступление совершил либо А, либо Б, либо С. Доказано, что не совершали преступление ни А, ни Б. Следовательно преступление совершил С. Истинность тезиса устанавливается путем последовательного доказательства ложности всех членов разделительного суждения кроме одного.

 

Таким образом, методы доказательства, применяемые в логике, очень ограничены, но, видимо, вполне достаточны. 

 

Опровержение.

Опровержение — рассуждение, направленное против тезиса с целью установления факта его ложности (иногда недоказанности).

Существует несколько приёмов опровержения. Если верным является отрицание тезиса, то вопрос об истинности утверждения отпадает. Распространённым способом является также «опровержение фактом»: вполне достаточно показать одного альбиноса, чтобы дать опровержение того, что "альбиносы не существуют".

Более сложный логический способ опровержения — вывод следствий, которые противоречат истине. Если одно следствие из утверждения ложно, то и само утверждение является ложным.

Ещё один способ — доказательство следствий отрицания тезиса, так как утверждение и его отрицание не могут быть одновременно истинными (впрочем, это допустимо, лишь если действует Закон исключённого третьего).

Опровержение также используется в эвристике. В научной эвристике при выдвижении гипотезы или теории происходит последующая их проверка опытом. Если они опровергаются эмпирическими данными, это показывает ограниченность их применения или ошибочность.

ОПРОВЕРЖЕНИЕ (лат. refutatio) – логическая операция, устанавливающая ложность или сомнительность какого-либо тезиса. Опровержение некоторого утверждения является вместе с тем опровержением любого его доказательства, однако опровержение доказательства тезиса не есть свидетельство его ложности. Тезис может быть истинным, а доказательство – ошибочным. Существует несколько способов опровержения тезиса. Наиболее распространенный из них – это опровержение фактами. Др. способ состоит в установлении противоречивости вытекающих из тезиса следствий. Опровержение доказательства показывает, что тезис логически не вытекает из представленных аргументов. Наконец, истинность антитезиса является доказательством ложности выдвинутого тезиса.

 

 

Установление эквивалентности.

Эквивалентность сегодня, это понятие сначала математическое, а потом – логическое. И потому, начинать придется с математики.

Я постарался показать отношение к эквивалентности объективно.

Материал дан по Википедии.

 

Эквивале́нция (или эквивале́нтность) — двуместная логическая операция. Обычно обозначается символом ≡ или ↔. Задаётся следующей таблицей истинности:

A

B

A ≡ B

0

0

1

1

0

0

0

1

0

1

1

1

 

Таким образом, высказывание A ≡ B означает «A то же самое, что B», «A эквивалентно B», «A тогда и только тогда, когда B».

Не надо путать эквиваленцию — логическую операцию с эквивалентностью — бинарным отношением.

 

Как мы поняли, в математической логике все логические отношения объектов  имеют общее название - бинарное отношение:

 

В математике бинарным отношением называется подмножество декартова произведения двух множеств. В частности, бинарным отношением на множестве называется непустое множество упорядоченных пар элементов этого множества.

Бинарные отношения могут обладать различными свойствами, такими как:

Рефлексивность: .

Антирефлексивность (иррефлексивность): .

Симметричность: .

Антисимметричность: .

Транзитивность: .

Асимметричность: . Асимметричность эквивалентна одновременной антирефлексивности и антисимметричности отношения.

 

Некоторые виды отношений.

1.      Рефлексивные отношения

Рефлексивное транзитивное отношение называется отношением квазипорядка.

Рефлексивное симметричное транзитивное отношение называется отношением эквивалентности.

Рефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением (частичного) порядка[7].

Примеры рефлексивных отношений

      отношения эквивалентности:

1.      отношение равенства

2.      отношение сравнимости по модулю

3.      отношение параллельности прямых и плоскостей

4.      отношение подобия геометрических фигур;

       отношения нестрогого порядка:

1.      отношение нестрогого неравенства

2.      отношение нестрогого подмножества

3.      отношение делимости    

 

2.      Антирефлексивные отношения.

Антирефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением строгого порядка.

Полное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением линейного порядка.

Антирефлексивное асимметричное отношение называется отношением доминирования.

 

Примеры антирефлексивных отношений:

1.      отношение неравенства

2.      отношения строгого порядка:

·        отношение строгого неравенства

·        отношение строгого подмножества

·        отношение перпендикулярности прямых (или ортогональности ненулевых векторов) в геометрии.

 

Теперь, отношения эквивалентности отдельно:

 

Отношение эквивалентности () на множестве X — это бинарное отношение, для которого выполнены следующие условия:

1.      Рефлексивность:  для любого a в X,

2.      Симметричность: если , то ,

3.      Транзитивность: если и , то .

Запись вида « » читается как «a эквивалентно b».

 

Классом эквивалентности C(a) элемента a называется подмножество элементов, эквивалентных a. Из вышеприведённого определения немедленно следует, что, если , то C(a) = C(b).

·        Множество всех классов эквивалентности обозначается X / .

·        Для класса эквивалентности элемента a используются следующие обозначения: [a], a / , .

·        Множество классов эквивалентности по отношению является разбиением множества.

 

Примеры отношений эквивалентности

·        Равенство »), тривиальное отношение эквивалентности на любом множестве, в частности, вещественных чисел.

·        Сравнение по модулю, («а ≡ b (mod n)»).

·        В Евклидовой геометрии

§  Отношение конгруэнтности[8] »).

§  Отношение подобия »).

§  Отношение параллельности прямых »).

·        Эквивалентность функций в математическом анализе:

 

Говорят, что функция эквивалентна функции при , если она допускает представление вида , где при . В этом случае пишут , напоминая при необходимости, что речь идет о сравнении функций при . Если  при , эквивалентность функций и при , очевидно, равносильна соотношению .

 

Немного разобрались… или окончательно запутались?  Логика сложна в понимании, в том числе и математическая. Если эквивалентность    бинарное отношение[9],  т.е. произведение двух множеств в виде  - «истина» или «ложь», то получается, что эквивалентность складывается из эквиваленций:

 

Логические выражения X и Y эквивалентны в том и только в том случае, когда эквиваленция  истинна при всех значениях логических переменных.

 

Так говорит Википедия. 

Но, продолжим…

 

Отношение толерантности — ослабленная форма эквивалентности.

Отношением толерантности[10]  (или просто толерантностью) на множестве X называется бинарное отношение, удовлетворяющее свойствам рефлексивности и симметричности, но не обязательно являющееся транзитивным. Таким образом, отношение эквивалентности является частным случаем толерантности.

В отличие от отношения эквивалентности, дающего разбиение множества элементов, на котором оно определено, на непересекающиеся подмножества, отношение толерантности даёт покрытие этого множества. Отношение толерантности используется, например, также при классификациях информации в базах знаний.[1]

…На содержательном уровне толерантность означает следующее. Любой объект неразличим сам с собой (свойство рефлексивности), а сходство двух объектов не зависит от того, в каком порядке они сравниваются (свойство симметричности). Однако, если один объект сходен с другим, а этот другой — с третьим, то это вовсе не значит, что все три объекта схожи между собой (таким образом, свойство транзитивности может не выполняться).

Отношение толерантности часто используется для описания отношения сходства между реальными объектами, отношений знакомства или дружбы между людьми. Во всех этих случаях свойство транзитивности не предполагается обязательно быть выполненным. В самом деле, Иванов может быть знаком с Петровым, Петров — с Сидоровым, но при этом Иванов и Сидоров могут быть не знакомы между собой.

Толерантным также будет и отношение на множестве слов, при котором оно задаётся как наличие хотя бы одной общей буквы. В этом случае, например, в отношении находятся пересекающиеся слова кроссворда.[2]

 

Да, уже совсем непонятно, где кончается математика и начинается логика. Для эквивалентности, во всяком случае…

 

Сравнение

Вот еще одна логическая операция, которая вроде бы «осталась» в философии, почему-то есть в логике,  и, тем более, в математике...

 

Сравнение — многозначный термин.

·        Сравнение — процесс количественного или качественного сопоставления разных свойств (сходств, отличий, преимуществ и недостатков) двух объектов.

·        Сравнение — выяснение, какой из двух объектов лучше в целом («интегральное сопоставление»).

·        Сравнение (разг.) — утверждение, что данные объекты равны или подобны, приравнивание, уподобление.

·        Сравнение в ряде социальных наук (психологии, социологии и др.) и в философии— познавательная операция, лежащая в основе суждений о сходстве или различии объектов. С помощью сравнения выявляются качественные и количественные характеристики предметов,[1] явлений и процессов.

·        Сравнение в математике. Сравнение формализовано в математике с помощью понятия «отношение».

 

Над двумя числами можно произвести:

·        сравнение на равенство, то есть выяснить равны ли числа;

·        сравнение на неравенство, то есть выяснить, какое из чисел больше.

·        Сравнение по модулю натурального числа (сравнение по модулю) в теории чисел — понятие, на котором основана модулярная арифметика, применяющаяся во многих областях науки.

 

·        Сравнение в стилистике и литературе — фигура речи, в которой происходит уподобление одного предмета или явления другому по какому-либо общему для них признаку.

 

Сравнение в ряде социальных наук (психологии, социологии и др.) и в философии— 1) научно-философский метод, направленный на способ познания единичного, особенного и всеобщего; играет роль в познании движения и изменения вещей, а также в раскрытии причин отдельных явлений; является способом классификации и систематизации предметов и явлений, необходимой составляющей любого умозаключения, одним из средств доказательства[1] 2) предмет исследования конкретных дисциплин (в логике, лингвистике, психологии, социологии и др.). Так, в логике, сравнение - это установление сходства и различий объектов и явлений действительности [2]. В лингвистике, сравнение (компаративность) - это, факт языка - в большинстве случаев - синтаксическая или стилистическая категория, а в более общем смысле - определённое, сформированное в конкретной культуре языковое средство, в котором отразились, в ходе исторического развития, некоторые результаты познавательной деятельности людей[3][4]. В психологии, сравнение - это одна из ключевых операций осуществляемых человеком при познании окружающего мира, себя самого и других людей, а также в ситуациях решения разнообразных, в частности, когнитивно-коммуникативных задач, находящаяся в зависимости от условий (контекста), в котором она совершается, которая не может быть понята, вне единство процесса, в ходе которого она осуществляется, результата, к которому приводит и субъекта, который её осуществляет.[5]

Сравнение лежит в основе любого оценочного суждения; рассматривается в качестве условия процессов субъективного измерения, эмпирического обобщения, категоризации и идентификации объектов и явлений; служит средством формирования представлений человека, элементарных понятий, системы знаний; играет важную роль в мнемических процессах; является одной из важных составляющих процесса познавательного развития.[6]

Сравнение может рассматриваться как познавательная операция, лежащая в основе суждений о сходстве или различии объектов. С помощью сравнения выявляются качественные и количественные характеристики предметов,[7] явлений и процессов.

 

Сравнение в программировании — общее название ряда операций над па́рами значений одного типа, реализующих математические отношения равенства и порядка. В языках высокого уровня такие операции, чаще всего, возвращают булево значение («истина» или «ложь»). По-разному рассматривается сравнение скалярных (числовых) объектов, указателей, и объектов сложных типов данных.

 

Логические операторы реализуют следующие математические операции сравнения:

·        Проверка на равенство или ( ) и неравенство ( );

·        Проверка на строгое неравенство ( и );

·        Проверка на нестрогое неравенство ( и ).

… Даже если аргументы сравнения не представляют собой числовые данные, их сравнение всё равно может быть реализовано, 

·        Сравнение указателей — сравнение значений указателей. Равенство указателей означает, что две переменных указывают на один и тот же объект данных (участок памяти).

·        Сравнение содержимого — сравнение объектов с точки зрения логики на основе знания их содержимого. Например, сравнение строк.

В некоторых языках в качестве эквивалентных также могут рассматриваться значения близкие по смысловой нагрузке, хотя и имеющие разные типы, например, пустая строка, пустой массив, число 0, нулевой (null) указатель, ложь — имеют смысл пустоты, отрицания.

 

Метод сравнения и механизм его реализации объективен и независим. Например,  от нас, и нашей субъективной оценки.

Сравнение позволяет объективно оценить одно качество  или свойство двух объектов сравнения. И определить их сходство и различия в отношении этого качества.

Это дает нам в руки  важный инструмент этого действия – эквивалент сравнения. Что и на основе чего сравниваем?

И очень важный вывод: Сравнение может быть абсолютным и относительным.

Этот вывод определяется появлением эквивалента сравнения.

Чтобы понять, в чем сходство и различие, надо взять …  что-то  и сравнить с … чем-то. И искать … что-то.  Но,  вначале мы должны понять, что именно мы хотим найти и где. И для чего.  Если сформулировать это более конкретно, то, необходимо указать цель, объекты, и систему критериев отбора определителей для нахождения сходств и различий по данному качеству.

Можно начинать сравнивать. Можно. Начинать, но …, с чего? И чем все это закончится?  Когда сравним.

Кстати, а что значит – сравнить?

Сравнить, это значит – измерить выбранный определитель объекта, и провести операцию наложения результата измерения на сопоставленный ему результат измерения определителя  другого объекта для обнаружения действительных отклонений между проведенными измерениями. Узнать направление полученного отклонения. И связать результаты с объектом.  А потом, запомнить все это. Объекты, сопоставленные определители, измерения, отклонение, как результат наложения, его направление и связь с объектом…

Это зависит от определителей и методов измерения.  И еще от способа сравнения результатов.  Но, это мы можем сказать, когда знаем, как и что делать.

Вот тут и выявляются уточнения в формулировании задачи сравнения.

Если мы сравниваем образные параметры – например, форму объекта, то и результат получаем в виде образа.

Сравнить два образа по относительным векторным геометрическим точкам пространства, это задача сложная, но вполне разрешимая. Для человека.

Для клетки такое определение невозможно. Но она вполне четко решает примерно схожую  по сложности  задачу на уровне молекул химических соединений при их дезактивации. Нам без специальных средств это вряд ли удастся.   Вот и сравнили…

Отрицание.

Отрицание в логикеунарная операция над суждениями, результатом которой является суждение (в известном смысле) «противоположное» исходному. Обозначается знаком ¬ перед или чертой над суждением. Синоним: логическое "НЕ".

… Как в классической, так и в интуиционистской логике «двойное отрицание» ¬¬A является следствием суждения A, то есть имеет место тавтология: .

Обратное утверждение  верно в классической логике (закон двойного отрицания), но не имеет места в интуиционистской. То есть, отрицание отрицания искомого утверждения не может служить интуиционистским доказательством, в отличие от классической логики. Это различие двух логических систем обычно полагается главным.

 

Конъюнкция.

Конъюнкция (от лат. conjunctio союз, связь) — логическая операция, по своему применению максимально приближённая к союзу "и". Синонимы: логи́ческое "И", логи́ческое умноже́ние, иногда просто "И".

Конъюнкция может быть бинарной операцией, то есть, иметь два операнда, тернарной операцией, т.е. иметь три операнда или n-арной операцией, т.е. иметь n операндов.

 

Дизъюнкция.

Дизъю́нкция — (лат. disjunctio - разобщение) логическая операция, по своему применению максимально приближённая к союзу «или» в смысле «или то, или это, или оба сразу». Синонимы: логи́ческое «ИЛИ», включа́ющее «ИЛИ», логи́ческое сложе́ние, иногда просто «ИЛИ».

Дизъюнкция может быть бинарной операцией, то есть, иметь два операнда, тернарной операцией, то есть иметь три операнда или n-арной операцией, то есть иметь n операндов.

 

Импликация.

Импликация (лат. implicatio - связь) — бинарная логическая связка, по своему применению приближенная к союзам «еслито…».

Импликация записывается как посылка следствие; применяются также стрелки другой формы и направленные в другую сторону (остриё всегда указывает на следствие).

Суждение, выражаемое импликацией, выражается также следующими способами:

·        Посылка является условием, достаточным для выполнения следствия;

·        Следствие является условием, необходимым для истинности посылки.

 

Ограничение.

Ограничением понятия - называется логическая операция, состоящая в прибавлении к содержанию понятия нового признака, наличие которого в содержании понятия сужает его объём. При этом исходное понятие будет родовым, а в результате его ограничения получается видовое понятие. Например, «движение ссудного капитала» - «международный кредит».

Пределом для операции ограничения понятия является единичное понятие, объём которого состоит из одного единственного предмета.

Противоположность данной логической операции является обобщение понятия.

 

Это первое, что система управления должна определить на основе внешней информации. С этого все и начинается. С граничных условий. Тут еще есть, а тут - уже нет. Тут можно, а там – нельзя.

Граница должна четко определяться. И отделять один логический объект от другого, хотя бы даже на самом нижнем, пока единственно возможном, уровне определения. На уровне абсолютной противоположности:  Есть определитель или его нет.[1]

Противоположностью по отношению к обобщению понятия является  уточнение или детализация или конкретизация понятия, а ограничение относится к объему определения понятия, а не к самому понятию…

Мы пытаемся лингвистическое и логическое понимание совместить с математическим. И, похоже, не очень получается.

 

Деление понятий.

Деление понятий — это логическая операция, посредством которой объем делимого понятия распределяется по объемам новых понятий, каждое из которых представляет частный случай исходного понятия. Например, расчеты делятся на наличные и безналичные. Понятия разделяются исходя из существенного признака, который может изменяться по определенному принципу или правилу (например, образование из понятия «торговый баланс» новых понятий, в которых фиксируется то или иное соотношение ввоза и вывоза товаров).

 

Структура деления:

·        Делимое понятие — понятие, в объеме которого необходимо выделить новые понятия.

·        Основание деления — признак, по которому будет производиться деление.

·        Члены деления — понятия, полученные в результате деления.

 

Чтобы деление было правильным, необходимо выполнять ряд условий.

·        Первое условие состоит в том, чтобы каждое конкретное деление производилось по одному и тому же, общему для новых понятий, основанию (признаку). Например, неверно делить людей на предпринимателей, государственных служащих и красивых мужчин. Если будет нарушено это условие, то произойдет перекрещивание объемов понятий, которые появятся в результате деления.

·        Второе условие состоит в том, чтобы деление было соразмерным, то есть чтобы объем делимого понятия был в точности равен сумме объемов членов деления (например, рынок делится на внутренний и внешний). Нарушение этого правила ведет к ошибкам двух видов:

o   неполное деление, когда перечисляются не все виды данного родового понятия;

o   избыточное деление, с лишними членами деления (например, когда сделки делятся на односторонние, многосторонние и недействительные; или пошлины делятся на таможенные, вывозные, ввозные и импортные).

·        Третье условие состоит в том, чтобы члены деления исключали друг друга, то есть не имели общих элементов, были соподчиненными понятиями. Например, неверно деление документов на секретные, служебные и поддельные. Это следствие смешения различных оснований деления.

·        Четвертое условие — состоит в том, чтобы деление было непрерывным. Нельзя делать скачки в делении. Не верно, если мы скажем: «Торговля делится на оптовую, государственную и частную розничную». Правильным будет разделить торговлю на оптовую и розничную, а затем уже, например, розничную торговлю разделить на государственную и частную.

Деление, свободное от ошибок, — дело нелегкое. Оно осуществимо, если признак, по которому производится распределение рода на виды, точен и отчетлив, а все возможные изменения признаков легко обозримы и могут быть установлены исчерпывающим образом.

 

С практической точки зрения наиболее существенными можно считать следующие виды делений.

1.      Деление понятия по видоизменению признака

2.      Дихотомия

3.      Классификация

4.      Типология

 

Обобщение.

Обобщение понятий — логическая операция, посредством которой в результате исключения видового признака получается другое понятие более широкого объема, но менее конкретного содержания; форма приращения знания путём мысленного перехода от частного к общему в некоторой модели мира, что обычно соответствует и переходу на более высокую ступень абстракции[1].

 

Нам надо бы напомнить, что:

 

Индукция (лат. inductio — наведение) — процесс логического вывода на основе перехода от частного положения к общему. Индуктивное умозаключение связывает частные предпосылки с заключением не строго через законы логики, а скорее через некоторые фактические, психологические или математические представления.[1]

Объективным основанием индуктивного умозаключения является всеобщая связь явлений в природе.

Различают полную индукцию — метод доказательства, при котором утверждение доказывается для конечного числа частных случаев, исчерпывающих все возможности, и неполную индукцию — наблюдения за отдельными частными случаями наводят на гипотезу, которая, конечно, нуждается в доказательстве. Также для доказательств используется метод математической индукции.

Неполная индукция - метод обобщения признаков некоторых элементов для всего множества, в который они входят. Неполная индукция не является доказательной с точки зрения формальной логики, может привести к ошибочным заключениям. Вместе с тем, неполная индукция является основным способом получения новых знаний. Доказательная сила неполной индукцией ограничена, заключение носит вероятностный характер, требует приведения дополнительного доказательства.

 

Материал взят из [1]. Как мы уже говорили, это вторая сторона формализации понимания. Обратная детализации по качествам. На основе сходства, или унификации качественного признака. Группирование объектов в одно множество с целью его идентификации, как единичного объекта сложного состава. 

По этой причине в формируемое множество могут попадать совершенно разные понятия и объекты. Их объединяет качественный признак, определяющий сходство или унификацию понимания основы данного множества.

Обобщение является основным механизмом уравнивания в процессе установления эквивалентности объектов сравнения на основе соединения их в одно множество на основе объединяющего качества.

В механистической логике это основной путь логического обоснования эквивалентности сравниваемых логических объектов (действий, качеств) и установления между ними логической связи. Получаемые логические связи служат основой для создания образа объекта в памяти системы. Да и самой памяти…

 

Детализация

Детализация,  как форма логического обоснования, применима к поиску и усилению различий сравниваемых объектов, действий и качеств с целью получения максимальной точности  в оценке отличий в рамках локальной логической системы.

Собственно, весь процесс сравнения построен на получении максимального количества сходства и различий одного и того же качества сравниваемых объектов.

В этом смысле есть некоторое сходство детализации с ограничением и классификацией, логическими операциями, показанными выше.  Но, сравните, классификация исходно имеет несколько значений, непонятно, какое мы можем применить здесь?

Ограничение в логическом понимании так изменило смысл, что перестало быть «границей» между чем-то и чем-то, перестало «ограничивать». Надо бы вернуть ограничению его исходный смысл… 

 Необходимость логического действия детализации свойств и качеств вытекает из обоснования индивидуальности[11] любого единичного объекта. Это тем более важно, если объектов – много.  Их просто необходимо различать.  На основе любого найденного различия в качествах. От большого и, может быть, очевидного для нас, но не для простейшей логической системы управления. Она не понимает очевидности. Для неё это просто отличие, добавляющее в образ индивидуальности для конкретного исследуемого объекта еще один аргумент логического обоснования этого.  

Детализация позволяет получить логический путь уточнения и индивидуализации построения ассоциативных связей для образа конкретного логического объекта  в памяти.

С другой стороны, детализация служит основой для построения последующего пути обобщения качеств объекта, для фиксации его в системе классификации групповых свойств, как обобщающих факторов  построения основных ступеней иерархии логических понятий системы управления.

По этой причине детализация  представляет собой достаточно сложную систему действий и понятий.

 

Копирование.

Это единственный общий метод  первичного накопления, передачи и применения информации самообучающихся логических систем. Таких, как клетка.

Копирование - получение противоположности с эталона или образца. Подробнее о противоположности мы узнаем чуть позже.

Для начала копирования необходимо иметь свой доступный для копирования  образец. И технологию. Точный порядок действий. А также – цель. Что и для чего…

Механизм копирования отработан на уровне клетки. Например, копирование ДНК. Это программа жесткого копирования, она выполняется в шаговом режиме, по частям. Контроль качества не предусмотрен, и потому - только строго по технологии.

Конечно, очень желательно при этом обладать умением сравнения копии с образцом для получения достоверного результата. И тем более желательно проверить полученную копию на пригодность.

Ошибки, и тут, конечно случаются. От них, в конечном итоге, все разнообразие Живого. С другой стороны,  при такой технологии ошибки маловероятны. Общий уровень надежности такого способа копирования позволяет поддерживать отдельный вид миллионы лет.

Если внимательно приглядеться к этой технологии копирования, можно заметить, что процесс «прямого шагового копирования по образцу» имеет очень интересную технологическую особенность. Общая технология включает в себя не одну операция копирования, а две. Две одинаковые  операции копирования – получение копии через противоположность образца.

Сначала с образца снимается его противоположная временная копия, затем такая же копия, но уже постоянная снимается с временной. Например, это ДНК, иРНК  и тРНК.

Такой способ в полном объеме применен в фотографии. Получение готовой копии на листе бумаги идет через получение негатива на временной копии – пленке.  Две операции, в общем случае совершенно одинаковые. Сначала, с объекта съемки на пленке получают его противоположность – негатив. Затем, с пленки на бумаге получают уже противоположность негатива – позитив. И получается прямая копия изображения объекта.

Копирование через противоположность – простой и очень эффективный способ копирования.

И еще один вид копирования – создание функциональных противоположностей копий. Копия должна уничтожить оригинал. Для чего? Кушать хочется, и защищаться надо, а может и нападать…, тоже.  Вариантов хватает.

Особое место в вариантах функционального копирования занимает копирование по информационным эталонам. Здесь главным вариантом копирования является синтез белков из аминокислот по информации триплетов ДНК. Это цепочка процесса синтеза: ДНК, РНК, белок. 

Общность получения прямой копии через противоположность очевидна.

Задача копирования с таким вариантным разнообразием простой быть не может.

 

 

 

Аксиома.

Аксиома (др.-греч. ἀξίωμα — утверждение, положение), постула́т — утверждение, принимаемое истинным без доказательств, и которое в последующем служит «фундаментом» для построения доказательств в рамках какой-либо теории, дисциплины и т. д.

Аксиоматиза́ция теории — явное указание конечного или счётного, рекурсивно перечислимого (как, например, в аксиоматике Пеано) набора аксиом и правил вывода. После того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно лишь на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений. Утверждения на основе аксиом называются теоремами. С формальной точки зрения, сами аксиомы также входят в число теорем.

Примеры различных, но равносильных наборов аксиом можно встретить в математической логике и Евклидовой геометрии.

Набор аксиом называется непротиворечивым, если из аксиом набора, пользуясь правилами логики, нельзя прийти к противоречию, то есть доказать одновременно и некое утверждение и его отрицание. Аксиомы являются своего рода «точками отсчёта» для построения теорий в любой науке, при этом сами они не доказываются, а выводятся непосредственно из эмпирического наблюдения (опыта) или обосновываются в более глубокой теории.

 

Последний абзац в данном определении очень важен. Он выводит аксиому из под монополии математики. Аксиомы, это «точки отсчета» в любой науке.

Но посмотрим с другой стороны, математической, со стороны формализма[12]:

 

Формально-аксиоматические теории, построенные на основе классической логики, имеет смысл рассматривать лишь при отсутствии в них противоречий, поскольку в противном случае «доказанным» оказывается любое суждение теории. Если в такой формальной системе удаётся доказать логическую ложь то она находится противоречивой и «выбраковывается», что обесценивает любые доказанные в рамках данной системы теоремы. Разумеется, математиков волновал вопрос, можно ли каким-то образом доказать непротиворечивость теории. К досаде формалистов, было показано, что вопрос о противоречивости теории не имеет адекватного разрешения внутри любой из употребительных в математике формальных систем.

 

Математика вносит в логику свои механизмы. И свои проблемы. С одной стороны математика формализуют и упрощают процесс отражения своими средствами, а с другой – ставит вопрос о математической непротиворечивости аксиом логики. Аксиомы и должны быть базой логического доказательства. Вот на этом и закончим.

 

 

 

 

Понятие.

Начнем с формулировки учебника [28]:

    

Понятие - простейшая логическая форма мысли, отражающая предметы и явления в их общих существенных признаках.
      Признаком называют все то, в чем предметы могут быть сходны между собой, или чем они друг от друга отличаются. Например, ворона летает и муха летает, способность летать - это тот признак, относительно которого ворона и муха похожи, и по этому признаку они отличаются от коровы, которая летать не может.

 

Вот интересное мнение:

 

В процессе познания мира человек опирается на данные своих ощущений, однако его разум обладает способностью усматривать (?) в конкретных вещах и процессах; так мы приходим к возникновению понятий, которые выступают абстракциями реальных предметов и событий. Следует отметить принципиально понятийный характер нашего мышления, ибо понятие есть: 1) итог мыслительного процесса, 2) начало дальнейшего процесса мышления, когда, прибегая к операциям и законам логики, мы можем сделать выводы без обращения к конкретным вещам.

 

Теперь заглянем в Википедию:

 

Понятие — отображённое в мышлении единство существенных свойств, связей и отношений предметов или явлений; мысль или система мыслей, выделяющая и обобщающая предметы некоторого класса по определённым общим и в совокупности специфических для них признаков.

Понятие есть результат применения категории к восприятию. Отсюда понятие в его отвлеченности противостоит конкретности восприятия. Также понятие противостоит слову, которое можно трактовать как знак понятия[1].

Понятия суть «сокращения, в которых мы охватываем, сообразно их общим свойствам, множество различных чувственно воспринимаемых вещей» (Ф. Энгельс)[2], а также нечувственных объектов, таких как другие понятия. Понятие не только выделяет общее, но и расчленяет предметы, их свойства и отношения, классифицируя последние в соответствии с их различиями. Так, понятие «человек» отражает и существенно общее (то, что свойственно всем людям), и отличие любого человека от всего прочего.

В русских философских словарях XVIII века (см. Антиох Кантемир и Григорий Теплов) термин понятие сближался с идеей.

 

Уточняем понимание по другому источнику:

 

Понятие – это форма мышления; это мысль о предмете, выражающая его существенные признаки.

 Следовательно, основой образования понятий служат выявленные (абстрагированные) признаки предметов, выраженные в обобщенном виде, т.е. без указания на конкретные черты того предмета, в котором мы усмотрели общее, что свойственно множеству предметов.

Предметом мысли может быть любая вещь, явление, процесс реальной действительности, а также представление об этих предметах, образы нашей фантазии и проч.

Мысли о свойствах и отношениях предметов называются признаками. Признаки предмета, т.о., определяют признаки самого понятия. Признаки могут быть определены также как черты сходства или различия предметов. Сходные признаки называются общими – в них выражается тождество предметов в определенном отношении. Признаки, которыми предметы отличаются друг от друга, называются отличительными.

 

И далее об образовании понятий:

 

Образование понятий связано с определенными действиями мышления, которые позволяют установить общие признаки у предметов, выделив в них существенные и несущественные признаки, создать из выделенных существенных признаков определенное единство.

Эти методы следующие:

·        анализ, т.е. мысленное расчленение содержания предмета на составляющие его свойства, признаки;

·        сравнение, т.е. установление сходства и различия между предметами;

·        синтез – мысленное соединение признаков, свойств предмета, отражаемых содержанием понятия;

·        абстрагирование – выделение единства признаков, составляющих содержание понятия, из всей совокупности признаков предметов;

·        обобщение. Этот метод предполагает связь с абстрагированием (отвлечением) и по сути является единым двусторонним процессом.

 

И снова уточнение:

 

Содержание понятия составляют все его элементы, которые могут быть выделены в качестве отдельных понятий. Объем понятия есть все другие понятия, для которых оно служит признаком, главной их частью. Первое можно обозначить символом А, тогда второе будет выглядеть как Аа, Ав, Ас, Аd… Если наш символ А (содержание), допустим, означает понятие «государство», то другие символы (Аа, Ав, Ас…) (объем) будут означать «рабовладельческое государство», «феодальное государство», «буржуазное государство», «тоталитарное государство», «демократическое государство» и т.д. Нетрудно заметить, что А выступает подчиняющим (родовым), а Аа, Ав, Ас… - подчиненными понятиями.

Из сказанного следует, что если признается наличие объема понятия А, то это значит, что должно признаваться наличие понятий, для каждого из которых оно является частью содержания. Отсутствие их означает отсутствие и самого понятия А, так как понятий без объема не бывает. Это можно понять так, что каждому понятию всегда соответствует реальный предмет.

… Каково же отношение между объемом и содержанием понятия? Из приведенных выше рассуждений мы можем заключить, что если содержание понятия А находится в содержании понятия В, то В находится в объема понятия А. И наоборот, если понятие В содержится в объеме понятия А, то последнее составляет часть содержания первого. Содержание и объем понятия, таким образом, находятся в обратном отношении.

Закон обратного отношения между объемом и содержанием понятий имеет силу только для тех понятий, одно из которых является родовым (подчиняющим), а другое видовым (подчиненным).

 

Из другого источника уточняем:

 

 Закон обратного отношения между объёмом и содержанием понятия : если первое понятие шире второго по объёму, то оно беднее его по содержанию; если же первое понятие у́же второго по объему, то оно богаче его по содержанию. Закон говорит о том, что объёмы и содержания понятий находятся в тесной обратной взаимозависимости.

 

Определение понятия.

Надо бы добавить:

 

Чтобы успешно оперировать понятиями, человек должен прежде всего уяснить их содержание. Оно не обнаруживается непосредственно в выражающем его слове. Установить содержание понятия, или раскрыть его возможно посредством определения (definitio).
Определить понятие – значит раскрыть существенные признаки его содержания. Это, однако, будет означать и установление существенных признаков самого предмета мысли, материального ил идеального. Значит, прежде всего необходимо изучить сам предмет мысли, его свойства и отношения, и определение понятия будет итогом познавательного процесса. Но так как сам предмет не является застывшим в своем существовании, он изменяется во времени, то будет меняться и наше знание о предмете. Поэтому с течением времени содержание понятия может измениться.

Во всяком определении различают определяемое понятие и определяющее, посредством которого данное понятие определяется. Содержание определяемого понятия включает общие и отличительные признаки; если они носят характер родо-видовых признаков, тогда применяется типичный формально-логический способ определения через ближайший род и видовое отличие. При этом перечисляются не все признаки определяемого понятия, а только родовой и видовые признаки.

 

Ах, да, вот еще что:

 

Как уже было сказано, во всяком сложном понятии содержание состоит из одной главной части и из одной или многих частей, которые называются побочными. Например, «тело, образованное вращением круга вокруг одного из своих диаметров» главной частью является «тело», а побочной – «образованное вращением круга вокруг одного из своих диаметров». Если удалить из содержания понятия побочную часть, то ее логическая связь с главной частью будет устранена. В результате получится два понятия: абстрактное понятие х, т.е. то, которое отвлечено, и конкретное понятие А – то, от которого отвлечено другое. По отношению к самим выделяемым признакам удаление последних из содержания сложного понятия называется отвлечением, или абстрагированием, а по отношению к оставшейся части понятия – обобщением. Оставшаяся часть после отвлечения от понятия каких-либо признаков представляет собой конкретное понятие. При последовательном отвлечении от понятия Авс одного за другим признаков каждый раз соответственно будет осуществляться переход ко все более общим понятиям Авс, Ав, А. Например, отвлекая от понятия «человек» признаки «быть способным к ощущению», «быть одушевленным», мы получим соответственно понятия «животное», «организм». Пределом обобщения понятий являются философские категории «бытие», «сознание», «причинность», «необходимость», «случайность», «количество», «качество» и т.д. В рамках одной науки пределом обобщения являются категории этой науки.

Противоположной обобщению логической операцией является ограничение. Если отвлечение в качестве следствия имеет уменьшение содержания понятия, то ограничение снова вводит в содержание понятия те признаки, которые были отняты у него в результате отвлечения. От общего понятия А мы переходим через ограничение постепенно к понятиям Ав, Авс, Авсd и т.д. ОТ понятия «плоская геометрическая фигура» путем прибавления соответствующих признаков мы переходим к понятиям «четырехсторонняя фигура», «параллелограмм», «квадрат». Пределом ограничения являются понятия об отдельных предметах, индивидуумах, содержание которых уже не может быть увеличено путем прибавления каких-либо признаков.

 

Правила определения понятий в логике.

Правила определения понятий в логике. Соблюдение данных правил является обязательным во избежание совершения логических ошибок. Эти правила следующие:
            1. Определение должно быть соразмерным, т.е. объем определяемого понятия должен совпадать с объемом определяющего, они должны быть равнозначащими понятиями. Эта соразмерность легко проверяется через перестановку мест членов определительного суждения. Приведем примеры. «Наука о законах и формах правильного мышления есть логика». Если переставить местами это логическое уравнение, то можно обнаружить тождество, как и в первом случае. Иное дело, когда мы прибегнем к таким примерам: «Молодой человек, обладающий дипломом, есть специалист». Если переставить местами определяемое и определяющее, то можно заметить, что понятие «специалист» шире понятия «молодой человек с дипломом». Значит, в этом случае данное правило нарушено.

2. Нельзя допускать круга в определении, т.е. когда определяющее само разъясняется через определяемое понятие. Нарушение этого правила ведет к логической ошибке – тавтологии. Вот некоторые примеры тавтологии: «Преступник – это человек, совершивший преступление»; «Сравнительная аналогия» (из газеты «Телегород», № 21, 2003). Здесь видно, что определяющее понятие повторяет сказанное в определяемом, не раскрывая его значения. Во избежание этой ошибки нужно помнить, что определяемое и определяющее понятия равны по объему, но не тождественны по своему содержанию, представляют самостоятельные понятия.

3. Определение не должно быть только отрицательным. Ведь целью определения является ответ на вопрос: чем является данный предмет, отображенный в понятии. Для этого необходимо выявить и перечислить в утвердительной форме его существенные признаки. Отрицательное определение отмечает лишь отсутствующие признаки, т.е. указывает, чем не является данный предмет. Однако негативный момент в составе определяющего понятия иногда необходим, он более четко выделяет предмет нашей мысли. Например, понятие «невидимый мир» не дает позитивного представления об этом мире, но подчеркивает сам предмет, который отображен в понятии.

4. Определение должно быть кратким, точным и ясным.
Слишком многословное определение выходит за рамки своего назначения и грозит превратиться в простое описание. В определении надо избегать двусмысленных, расплывчатых терминов, которые можно толковать по-разному. Нечеткое определение ведет к непониманию предмета, к смутным представлениям и путанице.

Точность определения предполагает его однозначность на протяжении всего рассуждения (выступления перед аудиторией, письменного текста, процесса и вывода). Этого требует логический закон тождества. В практике нередко возникает необходимость изменить определение, но при этом обязательно должна быть сделана специальная оговорка. Ясность определения зависит от его краткости и точности.

 

Теперь осталось в соответствии с этими правилами дать определение понятия, например, «снег». 

Что-то не очень получается.  Вернее, совсем не получается.

 

О формировании понятий.

Формирование понятий (образование понятий) — усвоение или выработка человеком новых для него понятий на основе опыта.

Формирование понятий — это переход от единичных вещей и явлений, данных в чувственном опыте, к обобщению этого опыта в понятиях, фиксирующих существенные признаки этих вещей и явлений. Вещи даны в ощущениях и восприятиях, понятиями же оперирует мышление; вещи чувственны, а понятия представляют собой нечувственные сущности, доступные лишь разуму. Как заполняется этот по видимости непреодолимый разрыв между единичным и всеобщим, каким образом возникновение понятий, столь отличных по своей природе от вещей, вообще возможно и как именно протекает этот процесс, каковы его механизмы, — всё это составляет одну из сложнейших проблем теории познания.

Формирование понятий изучается философией и психологией. Если философия занимается общетеоретическими вопросами — объяснением связи между единичным и всеобщим, то психология сосредоточивает внимание на вопросе о том, как именно происходит выявление признаков, составляющих некоторое понятие (класс), и правил, связывающих эти признаки.

 

 

 

 

 

 

Суждение.

Суждение в Википедии:

 

Суждение  — форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предмете, его свойствах или отношениях между предметами. Виды суждений и отношения между ними изучаются в философской логике.

В формальной и математической логике суждениям соответствуют высказывания.

 

Раскроем понимание суждения по другому источнику:

 

Мысль, выраженная в форме понятия, сама по себе ещё не есть процесс мышления. Для инициализации мыслительного процесса необходима элементарная логическая форма, каковой является суждение. В суждении выражается отношение между двумя и более понятиями; устанавливается такое отношение, мы и осуществляем элементарный мыслительный акт.

Такая форма мышления посредством которой, сочетая понятия, что-либо утверждают или отрицают о реальных вещах и явлениях, называют суждением.
Если понятия отражают совокупность существенных признаков предмета, то суждения отражают отдельные отношения между предметами и их признаками. Причём, эти отношения выражаются путём утверждения или отрицания. Таким образом, суждение придаёт человеческой мысли законченную форму.

Суждения как форма мышления в языке закрепляется и передаётся другим людям с помощью предложения. Например, понятие «Киев» принимаем форму предложения, когда мы утверждаем что его как «Киев – столица Украины»; это и есть мысль, выраженная в форме логического суждения.

Суждение – это такая логическая форма, которая может быть истинной или ложной; установление того или другого и являются задачей логики.

 

Но,  мне кажется, очень неплохо сказано здесь [29]:

 

 Суждение - это форма мышления, в которой утверждается или отрицается связь между предметом и его признаком или отношение между предметами.
       Любое суждение может быть расценено как истинное (соответствующее действительности) или ложное
       Языковой формой суждения является повествовательное предложение (косвенно суждение содержит и риторический вопрос, поскольку он по смыслу является утверждением или отрицанием). Предложения в других грамматических формах (собственно вопросительные, побудительные и т.д.) непосредственно суждениями не являются, поскольку ничего не утверждают и не отрицают.

Полная структура простого суждения включает четыре элемента:

·        субъект (S) - понятие, отражающее сам предмет мысли, то, о чем что-то говорится;

·        предикат (Р) - понятие, отражающее то, что именно говорится о предмете (его свойство или соотношение с другими объектами);

·        связка (в языковой форме выражается словами "есть/не есть", "суть/не суть, "является/не является" и т.п., либо вообще только подразумевается). Отражает наличие /отсутствие определенной связи субъекта и предиката;

·        квантор (всеобщности (") - "все", "каждый", "ни один… не" ("все … не") и т. п.; существования ($) - "некоторые", "многие", "часть" и т. п.; единственности существования ($!) - "этот", "данный" и т. п.), отражающий количественную характеристику суждения.

Символически структура простого суждения выражается формулой: (K)S-P, где <К> - некоторый квантор, а <-> - связка (если квантор отсутствует в явном виде, то суждение формально неопределенно по количеству, хотя эту характеристику обычно можно установить по смыслу).

 

Далее мы смотрим материал снова по Википедии:

 

Простые суждения — суждения, составными частями которых являются понятия. Простое суждение можно разложить только на понятия.

Сложные суждения — суждения, составными частями которых являются простые суждения или их сочетания. Сложное суждение может рассматриваться как образование из нескольких исходных суждений, соединенных в рамках данного сложного суждения логическими союзами (связками). От того, при помощи какого союза связываются простые суждения, зависит логическая особенность сложного суждения.

 

Состав простого суждения

Простое (атрибутивное) суждение — это суждение о принадлежности предметам свойств (атрибутов), а также суждения об отсутствии у предметов каких-либо свойств. В атрибутивном суждении могут быть выделены термины суждения — субъект, предикат, связка, квантор.

 

Субъект суждения — это мысль о каком-то предмете, понятие о предмете суждения (логическое подлежащее).

Предикат суждения — мысль об известной части содержания предмета, которое рассматривается в суждении (логическое сказуемое).

Логическая связка — мысль об отношении между предметом и выделенной частью его содержания (иногда только подразумевается).

Квантор — указывает, относится ли суждение ко всему объёму понятия, выражающего субъект, или только к его части: «некоторые», «все» и т. п.  Ква́нтор — общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката.

 

Состав сложного суждения

Сложные суждения состоят из ряда простых («Человек не стремится к тому, во что не верит, и любой энтузиазм, не подкрепляясь реальными достижениями, постепенно угасает»), каждое из которых в математической логике обозначается латинскими буквами (A, B, C, D… a, b, c, d…). В зависимости от способа образования различают конъюнктивные, дизъюнктивные, импликационные, эквивалентные и отрицательные суждения.

Дизъюнктивные суждения образуются с помощью разделительных (дизъюнктивных) логических связок (аналогичных союзу «или»). Подобно простым разделительным суждениям, они бывают:

нестрогими (нестрогая дизъюнкция), члены которой допускают совместное сосуществование («то ли…, то ли…»). Записывается как ;

строгими (строгая дизъюнкция), члены которой исключают друг друга (либо одно, либо другое). Записывается как .

Импликационные суждения образуются с помощью импликации, (эквивалентно союзу «если …, то»). Записывается как или . В естественном языке союз «если …, то» иногда является синонимом союза «а» («Погода изменилась и, если вчера было пасмурно, то сегодня не одной тучи») и, в таком случае, означает конъюнкцию.

 

Вот по этому вопросу интересный материал немного с другой стороны:

 

Импликативное суждение по-русски называется условное суждение.

Условным называется суждение, полученное из любых двух других суждений посредством логического союза «если…, то». В условном суждении «Если А, то В» составляющая А называется основанием или антецедентом[13], а составляющая В – следствием или консеквентом[14].

Логический союз «Если…, то» не следует путать с грамматическим союзом. Обычно этот союз выражает причинную или иную какую – либо связь следования методу А и В. Логический же союз «если…, то», как и все вышеописанные союзы, может следить любые суждения и не требует содержательной связи между ними.

Условное суждение «Если А, то В» является функцией истинности составляющих А и В и его истинность или ложность зависит не от их смысла, а лишь от их истинности или ложности.
Существует следующая семантическая зависимость: условное суждение ложно, тогда, когда его основание истинно, а следует ложно, и истинно во всех остальных случаях.

Это видно из таблицы:

А

В

Если А, то В

Истинно

Истинно

Истинно

Истинно

Ложно

Ложно

Ложно

Истинно

Истинно

Ложно

Ложно

Истинно

 

Таким образом получается, что импликантивное суждение истинно, если истинны антецедент и консеквент, независимо от их содержания. Например, с логической точки зрения будет истинным такое суждение: «если дважды два четыре, то снег бел», хотя по содержанию оно бессмысленно. Истинными с точки зрения содержания логики оказывается все условные суждения с ложным антецедентом, например такие: «Если дважды два четыре, то снег бел» и «Если дважды два равно пяти, то снег чёрен», что с точки зрения содержания не имеет смысла. Ложно с логической точки зрения условное суждение в одном случае: когда антецедент  истинный, а консеквент ложный. Например: «Если дважды два равно четырём, то снег чёрен» является ложным. Это соответствует содержательному представлению о том, что условное суждение не может быть истинным, если при истинном основании обнаруживается, что у него ложное следствие.

 

Я выделил наиболее важные части текста.

Читаем и стараемся понять, каким образом можно вычислить значение функции, если неизвестна исходная истинность или ложность составляющих А и В? 

Вот это и является самым слабым местом всей логики. К этому мы еще вернемся…

Но, продолжим по основному вопросу, составу сложного суждения:

 

Конъюнктивные суждения образуются с помощью логических связок сочетания или конъюнкции (эквивалентно запятой или союзам «и», «а», «но», «да», «хотя», «который», «зато» и другим). Записывается как .

Эквивалентные суждения указывают на тождественность частей суждения друг другу (проводят между ними знак равенства). Помимо определений, поясняющих какой-либо термин, могут быть представлены суждениями, соединенными союзами «если только», «необходимо», «достаточно» (например: «Чтобы число делилось на 3, достаточно, чтобы сумма цифр, его составляющих, делилась на 3»). Записывается как (у разных математиков по-разному, хотя математический знак тождества всё-таки ).

Отрицательные суждения строятся с помощью связок отрицания «не». Записываются либо как a ~ b, либо как a b (при внутреннем отрицании типа «машина не роскошь»), а также с помощью черты над всем суждением при внешнем отрицании (опровержении): «не верно, что …» (a b).

 

Классификация простых суждений

По качеству

Утвердительные — S есть P. Пример: «Люди пристрастны к самим себе».

Отрицательные — S не есть P. Пример: «Люди не поддаются лести».

 

По объёму

Общие — суждения, которые справедливы относительно всего объёма понятия (Все S суть P). Пример: «Все растения живут».

Частные — суждения, которые справедливы относительно части объема понятия (Некоторые S суть P). Пример: «Некоторые растения суть хвойные».

 

По отношению

Категорические — суждения, в которых сказуемое утверждается относительно субъекта без ограничений во времени, в пространстве или обстоятельствах; безусловное суждение (S есть P). Пример: «Все люди смертны».

Условные — суждения, в которых сказуемое ограничивает отношение каким-либо условием (Если А есть В, то С есть D). Пример: «Если дождь пойдет, то почва будет мокрая». Для условных суждений:

Основание — это (предыдущее) суждение, которое содержит условие.

Следствие — это (последующее) суждение, которое содержит следствие.

 

Логический квадрат, описывающий отношения между категорическими суждениями

 

По отношению между подлежащим и сказуемым

Субъект и предикат суждения могут быть распределены (индекс «+») или не распределены (индекс «-»).

Распределено — когда в суждении подлежащее (S) или сказуемое (P) берется в полном объеме.

Не распределено — когда в суждении подлежащее (S) или сказуемое (P) берется не в полном объёме.

 

Суждения А (обще-утвердительные суждения) Распределяет свое подлежащее (S), но не распределяет свое сказуемое (P)

Объем подлежащего (S) меньше объема сказуемого (Р)

Прим.: «Все рыбы суть позвоночные»

Объемы подлежащего и сказуемого совпадают

Прим.: «Все квадраты суть параллелограммы с равными сторонами и равными углами»


Суждения Е (обще-отрицательные суждения) Распределяет как подлежащее (S), так и сказуемое (P)

В этом суждении мы отрицаем всякое совпадение между подлежащим и сказуемым

Прим.: «Ни одно насекомое не есть позвоночное»


Суждения I (частно-утвердительные суждения) Ни подлежащие (S), ни сказуемые (P) не распределены

Часть класса подлежащего входит в класс сказуемого.

Прим.: «Некоторые книги полезны»

Прим.: «Некоторые животные суть Позвоночные»


Суждения О (частно-отрицательные суждения) Распределяет свое сказуемое (Р), но не распределяет свое подлежащее (S) В этих суждениях мы обращаем внимание на то, что есть несовпадающего между ними (заштрихованная область)

Прим.: «Некоторые животные не суть позвоночные (S)»

Прим.: «Некоторые змеи не имеют ядовитых зубов (S)»

 

Общая классификация:

общеутвердительные (A) — одновременно общие и утвердительные («Все S+ суть P-»)

частноутвердительное (I) — частное и утвердительное («Некоторые S- суть P-») Прим: «Некоторые люди имеют черный цвет кожи»

общеотрицательное (E) — общее и отрицательные («Ни один S+ не суть P+») Прим: «Ни один человек не всеведущ»

частноотрицательное (O) — частное и отрицательное («Некоторые S- не суть P+») Прим: «Некоторые люди не имеют черного цвета кожи»

таблица распределения подлежащего и сказуемого

Подлежащее (S)

Сказуемое (P)

о-у

А

распределено

нераспределено

о-о

Е

распределено

распределено

ч-у

I

нераспределено

нераспределено

ч-о

О

нераспределено

распределено

 

Другие

 

Разделительные -

1) S есть или А, или В, или С

2) или А, или В, или С есть Р когда в суждении остается место неопределенности

 

Условно-разделительные суждения -

Если А есть В, то С есть D или Е есть F

если есть А, то есть а, или b, или с Прим: « Если кто желает получить высшее образование, то он должен учиться или в университете, или в институте, или в академии»

 

Суждения тождества — понятия субъекта и предиката имеют один и тот же объём. Пример: «Всякий равносторонний треугольник есть равноугольный треугольник».

Суждения подчинения — понятие с менее широким объёмом подчиняется понятию с более широким объёмом. Пример: «Собака есть домашнее животное».

Суждения отношения — именно пространства, времени, отношения. Пример: «Дом находится на улице».

Экзистенциальные суждения или суждения существования — это такие суждения, которые приписывают только лишь существование.

Аналитические суждения — суждения, в которых мы относительно субъекта высказываем нечто такое, что в нём уже содержится.

Синтетические суждения — суждения, расширяющие познание. В них не раскрывается содержание подлежащего, а присоединяется нечто новое.

 

Модальность суждений

Разрабатывая теорию высказывания, швейцарский лингвист Шарль Балли[15] отметил, что в высказывании можно выделить два элемента: основное содержание и индивидуальную оценку излагаемых фактов. Балли позаимствовал термины диктум (лат. dictum — слово, выражение) и модус (лат. modus — способ) из схоластики и использовал их для обозначения объективной и субъективной части суждения.

 

Модальности

Модальные понятия, или модальности[16] — понятия, выражающие контекстную рамку суждения: время суждения, место суждения, знание о суждении, отношение говорящего к суждению.

 

Вот еще одно определение, из философии:

 

Модальность (лат. modus — способ, вид) — способ, вид бытия или события; категории модальности: возможность, действительность, необходимость; модальный — обусловленный обстоятельствами; модальный анализ — исследование модальности; используется в логике, психологии, лингвистике, программировании, музыке и др.

На стыке философии и психологии модальность чаще всего означает: элемент некоего конечного множества, или экземпляр некоего класса. Так, можно встретить выражения «модальности внутреннего опыта» (визуальная, аудиальная и тактильная).

модальность… ничего не прибавляет к содержанию суждения… а касается только значения связки по отношению к мышлению вообще[1]

 

Михаил Эпштейн предложил делить модальности на три вида:

·        бытийные или онтические

·        познавательные или эписемические

·        чистые или потенционные[2]

 

Модальности разделяются:

·       Алетические (от древнегр. alethinos — истинный).

·       Деонтические (древнегр. deon, deontos — должное, необходимое). Логику деонтических модальностей разработал финский философ Георг фон Вригт[17].

·       Аксиологические (древнегр. axios — ценность). Аксиологическую логику разработал русский философ А.А. Ивин[18].

·        Эпистемические (древнегр. episteme — знание).  Эпистемическую логику разработал Яакко Хинтикка[19].

·        Временные.

·        Пространственные.

 

В зависимости от модальности выделяются следующие основные виды суждений:

Суждения возможности — «S, вероятно, есть Р» (возможность). Пример: «Возможно падение метеорита на Землю».

Ассерторические — «S есть P» (действительность). Пример: «Киев стоит на Днепре».

Аподиктические — «S необходимо должно быть P» (необходимость). Пример: «Две прямые линии не могут замыкать пространства».

 

 

Силлогизм.

Определение силлогизма. Мы рассмотрели непосредственные умозаключения, теперь перейдём к рассмотрению посредственных умозаключений и из них прежде всего рассмотрим дедуктивные умозаключения. Дедуктивные «умозаключения принимают формы силлогизма. Силлогизм есть такая форма умозаключения, в которой из двух суждений необходимо вытекает третье, причём одно из двух данных суждений является обще-утвердительным или обще-отрицательным. Силлогизм, таким образом, представляет собой умозаключение от общего. Полученное суждение ни в коем случае не будет более общим, чем суждения, из которых оно выводится.

 

СИЛЛОГИЗМ -   (греч. ), форма дедуктивного умозаключения, в которой из двух высказываний (посылок) субъектно-предикатной структуры следует новое высказывание (заключение) той же логич. структуры. Обычно С. наз. категорич. С.,  СИЛЛОГИЗМ (от греч. sillogismos) — опосредованное умозаключение силлогистики.

 

СИЛЛОГИСТИКА    (от греч. — выводящий умозаключение; дедуктивный), теория дедуктивного вывода, оперирующая высказываниями субъектно-предикативной структуры: S есть Р (где S — логич. подлежащее, или субъект, Р — логич. сказуемое, или предикат). В С. выясняются общие условия, при которых из одного, двух или более высказываний — посылок указанной структуры — с необходимостью следует некоторое новое высказывание — заключение, а также условия, при крых такое следование не имеет места. В случае следования заключения лишь из одной посылки имеется непосредств. силлогистич. вывод; в случае следования заключения из двух посылок — собственно силлогизм; в случае следования заключения из многих досылок — полисиллогизм, или сорит. Традиционно одна из осн. задач С. состояла в выяснении того, какие модусы каждой из четырёх фигур силлогизма являются правильными умозаключениями, а какие неправильными. В связи с этим были сформулированы как общие правила силлогизма, так и специальные правила фигур, а также предложены графич. интерпретации силлогистич. умозаключений, служащие средством наглядного их обоснования или опровержения.

 

СИЛЛОГИСТИКА (от греч. syllogisticos — рассчитываю, считаю) — логическая теория дедуктивных рассуждений, в которой исследуются логические связи между категорическими атрибутивными высказываниями. С. была построена Аристотелем.

 

 Простой категорический силлоги́зм (греч. συλλογισμός) — рассуждение мысли, состоящее из трёх простых атрибутивных высказываний: двух посылок и одного заключения. Посылки силлогизма разделяются на бо́льшую (которая содержит предикат заключения) и меньшую (которая содержит субъект заключения). По положению среднего термина силлогизмы делятся на фигуры, а последние по логической форме посылок и заключения — на модусы.

 

Каким-то образом суждение пересекается с силлогизмом в части «рассуждения мысли». Силлогизм состоит из двух посылок и одного заключения. Это стандартная форма.  Но, не будем торопиться с выводами. И продолжим о силлогизме…

 

Простой категорический силлогизм (ПКС) - это дедуктивное умозаключение, в котором из двух категорических суждений выводится новое категорическое суждение.[29]

 

Структура простого категорического силлогизма

В силлогизм входит ровно три термина:

S — меньший термин: субъект заключения (входит также в меньшую посылку);

P — больший термин: предикат заключения (входит также в большую посылку);

M — средний термин: входит в обе посылки, но не входит в заключение.

 

Подлежащие S (субъект) — то, относительно чего мы высказываем (делится на два вида):

1.    Определенное: Единичное, Частное, Множественное

·        Единичные [суждения] — в которых подлежащее является индивидуальным понятием. Прим: «Ньютон открыл закон тяготения»

·        Частное суждение — в котором подлежащим суждения является понятие, взятое в части своего объема. Прим: «Некоторые S суть P»

·        Множественное суждение — это те, в которых несколько подлежащих классовых понятий. Прим: «насекомые, пауки, раки есть членистоногие»

2.      Неопределенное. Прим: «светает», «больно» и т. п.

 

Сказуемое P (предикат) — то, что мы высказываем (2 вида суждений):

·        Повествовательные — это суждение относительно событий, состояний, процессов или деятельности скоропроходящих. Прим: «Роза в саду цветет».

·        Описательные — когда одному или многим предметам приписывается какое-нибудь свойство. Субъектом всегда является определенная вещь. Прим: «Огонь горяч», «снег бел».

 

Отношение между подлежащим и сказуемым:

1.      Суждения тождества — понятия субъекта и предиката имеют один и тот же объем. Прим: «всякий равносторонний треугольник есть равноугольный треугольник»

2.      Суждения подчинения — понятия с менее широким объемом подчиняется понятию с более широким объемом. Прим: «Собака есть домашнее животное»

3.      Суждения отношения — именно пространства, времени, отношения. Прим: «Дом находится на улице»

 

При определении отношения между подлежащим и сказуемым важна четкая формализация терминов, поскольку бездомная собака хоть и не является домашней с точки зрения проживания в доме, все равно относится к классу домашних животных с точки зрения принадлежности по социально-биологическому признаку. То есть следует понимать, что «домашнее животное» по социально-биологической классификации в отдельных случаях может быть «недомашним животным» с точки зрения места обитания, то есть с социально-бытовой точки зрения.

Обратим внимание на появление суждения. Суждение здесь имеет понимание предложения, выражающего законченную мысль. И мы говорим о частях предложения.

 

Классификация простых атрибутивных высказываний по качеству и количеству

По качеству и количеству различают четыре вида простых атрибутивных высказываний:

·        A — от лат. affirmo — Общие («Все люди смертны»)

·        I — от лат. affirmo — Частноутвердительные («Некоторые люди — студенты»)

·        E — от лат. nego — Общеотрицательные («Ни один из китов не рыба»)

·        О — от лат. nego — Частноотрицательные («Некоторые люди не являются студентами»)

 

Примечание. Для условного буквенного обозначения высказываний используются гласные из латинских слов affirmo (я утверждаю, говорю - да) и nego (я отрицаю, говорю  - нет).

Единичные высказывания (такие, в которых субъект является единичным термином) приравниваются к общим.

 

А здесь в качестве  базового понятия используется уже высказывание.

 

Распределенность терминов в простых атрибутивных высказываниях

Субъект всегда распределен в общем высказывании и никогда не распределен в частном высказывании.

Предикат всегда распределен в отрицательных суждениях, в утвердительных он распределен тогда, когда по объему Р<=S.

В качестве предиката, в некоторых случаях, может выступать субъект.

 

Теперь мы видим и высказывание и суждение.  Автор четко разделяет их. Понять бы – как?

 

Правила простого категорического силлогизма

·        Средний термин должен быть распределён хотя бы в одной из посылок.

·        Термин, не распределённый в посылке, не должен быть распределён в заключении.

·        Число отрицательных посылок должно быть равно числу отрицательных заключений.

·        В каждом силлогизме должно быть только три термина.

 

Фигуры и модусы

Фигурами силлогизма называются формы силлогизма, отличающиеся расположением среднего термина в посылках:

                                                         Фигура 1              Фигура 2             Фигура 3               Фигура 4

Бо́льшая посылка:                         M—P                   P—M                   M—P                    P—M

Меньшая посылка:                        S—M                   S—M                   M—S                    M—S

Заключение:                                    S—P                     S—P                     S—P                     S—P

 

 

Каждой фигуре отвечают модусы — формы силлогизма, различающиеся количеством и качеством посылок и заключения. Модусы изучались ещё средневековыми школами, и для правильных модусов каждой фигуры были придуманы мнемонические имена:

Фигура 1                Фигура 2                           Фигура 3             Фигура 4

Barbara                   Cesare                                 Darapti                Bramantip

Celarent                  Camestres                          Disamis               Camenes

Darii                        Festino                               Datisi                    Dimaris

Ferio                       Baroco                               Felapton                              Fesapo

                                                                            Bocardo                Fresison

                                                                            Ferison  

 

…Силлогизм преобладал в логике до XIX века и имел ограниченное приложение в частности из-за привязки к категорическому силлогизму. Заменой силлогизму служит более простая и мощная логика первого порядка, а также теория кванторов.

 

 

 

Рассуждение. Умозаключение.

Теперь мы точно научимся рассуждать логично.

 

Рассуждение — ряд мыслей, суждений, умозаключений на какую-нибудь тему, изложенных в логически последовательной форме.

Рассуждение в логике 

Рассуждение, в логике имеет двоякое значение — общее и специальное.

В общем значении рассуждением называется деятельность рассудка; иногда рассуждение является синонимом понятия мышления.

В специальном значении понятие рассуждение используется для обозначения анализа, умственного взвешивания доводов в пользу какого-либо положения, причём предполагается, что эти доводы излагаются связно и методично, так что могут служить достаточным основанием для вывода доказываемого положения.

 

Определение умозаключения.

Теперь мы рассмотрим умозаключение, или рассуждение, которое представляет собой наиболее совершенное логическое построение. Умозаключение получается из суждений, и именно таким образом, что и в двух или больше суждений с необходимостью выводится новое суждение. Это последнее обстоятельство, именно выведение нового суждения, особенно характерно для процесса умозаключения.

Итак, умозаключение есть вывод суждения из других суждений, которые в таком случае называются посылками или предпосылками (praemissae). Вообще умозаключение является результатом сопоставления ряда посылок. Но есть вид умозаключений, основывающихся на одной посылке; это так  называемые умозаключения в несобственном смысле, или умозаключения непосредственные. Например, у меня есть суждение: «ни один металл не есть сложное тело»; имея такое суждение, я могу сделать вывод, что «ни одно сложное тело не есть металл». Это есть непосредственное умозаключение. Умозаключение это есть потому, что, допустив одно суждение, мы из него выводим другое.

В зависимости от числа посылок умозаключения делятся на две группы: 1) умозаключения в несобственном смысле, или непосредственные умозаключения; 2) умозаключения в собственном смысле. К этой последней группе относятся следующие виды умозаключений: 1) индукция, 2) дедукция, 3) аналогия и т. п.

  

Далее из материалов  [29]:

 

Умозаключение - форма мышления, посредством которой из одного и более суждений выводится новое суждение.

 

Истинность и правильность мысли.

      Истинность заключения обусловлена двумя факторами: во-первых, истинностью посылок, во-вторых, формальной правильностью связи между посылками - правильной формой соответствующего умозаключения.
      Истинным является мышление, адекватно отражающее фрагмент действительности, а "правильным" называется мышление, не нарушающее правил и законов формальной логики.

 

Структура умозаключения

      Любое умозаключение состоит из посылок и заключения или вывода из посылок.

Посылки - это исходные суждения, а заключение - новое суждение.
     

 При выявлении логической формы умозаключения посылки и заключение принято записывать столбиком. Посылки отделяются от заключения горизонтальной чертой. Над ней записываются посылки, а под ней - заключение.

 

 

Традиционный древнегреческий силлогизм:

[посылка] Все люди - смертны.
[посылка] Все греки - люди.


[заключение] Следовательно, все греки смертны

 

 

Логическим основанием выведения нового суждения является смысловая связь посылок. Они состоят из суждений, состоящих из одинаковых терминов, т. е. связанных по содержанию. Если взять разные по содержанию суждения, то вывод из них невозможен. Например, из суждений "Все планеты - небесные тела" и "Ручка - канцелярский прибор" нельзя сделать заключение. Ни в действительности, ни логически они не связаны.

Если взять разные по содержанию суждения, то вывод из них невозможен. Например, из суждений "Все планеты - небесные тела" и "Ручка - канцелярский прибор" нельзя сделать заключение. Ни в действительности, ни логически они не связаны.

В зависимости от последовательности движения мысли и логической обоснованности выводного суждения умозаключения делятся на виды:

1.      дедуктивные: от более общего знания к менее общему; заключение с логической необходимостью вытекает из посылок, оно ими обосновано полностью и однозначно; 

2.      индуктивные: от менее общего знания к более общему; заключение имеет чаще всего вероятностный характер; 

3.      умозаключения по аналогии: от частного знания к частному; заключение носит вероятностный характер.     

Дедуктивные умозаключения дают чисто формальные выводы, т.е. по существу лишь раскрывают в новой форме информацию, изначально заложенную в посылках.       

Индуктивные выводы и аналогии уступают дедукции в точности, но имеют преимущество в том, что только в них появляется принципиально новое знание.

 

 

 

Высказывание.

Логическое высказывание — упрощение термина «Суждение» из формальной логики, используется в математической логике. Высказыванием является повествовательное предложение, которое формализует некоторое выражение мысли. Это утверждение, которому всегда можно поставить в соответствие одно из двух логических значений: ложь (0, ложно, false) или истина (1, истинно, true). Логическое высказывание принято обозначать заглавными латинскими буквами.

Высказывательной формой называется логическое высказывание, в котором один из объектов заменён переменной. При подстановке вместо переменной какого-либо значения высказывательная форма превращается в высказывание. Пример: A(x) = «В городе x идет дождь.» A — высказывательная форма, x — объект.

Высказывание обычно имеет только одно логическое значение. Так, например, «Париж — столица Франции» — высказывание, а предложение «На улице идет дождь» высказыванием не является. Аналогично, «5>3» — высказывание, а выражение «2+3» — нет. Как правило, высказывания обозначают маленькими латинскими буквами.

 

Можно надеяться, что все сразу всё поняли…

Логическое высказывание, это из формальной логики, используется в математической логике в форме повествовательного предложения…, но высказывательной формой не является… и далее по тексту.  У меня комментариев нет.

 

 

Надо разобраться…

Мы только чуть коснулись некоторых основных составных частей логики, даже не углубляясь в их конкретику. И сразу наткнулись на видимые противоречия.

Оказывается…

Из понятий составляются суждения. Из суждений формируются  рассуждения (умозаключения) в форме силлогизмов (стандартных форм) где и выводятся новые суждения, как заключения.

Для этого нам и нужны законы, правила и операции.

Вот это – логика. Та, что вышла из философии…, та, которая – о «правильном мышлении», та,  в которой язык общения является определяющим фактором.

Тогда, в какой логике: «ДА и НЕТ не говорите», «А и Б сидели на трубе…»?

Видимо, в другой, в формальной…

Зачем мы пытаемся понять, что такое  - логика, её составляющие, их понимание с разных сторон?  Чтобы понять, где кончается одна логика и начинается другая. И чем они различаются.

Но с разными логиками мы еще будем разбираться далее, а пока постараемся понять главное: Если начать устанавливать общность логических законов мышления для всего Живого, то мы сначала должны снизить уровень человеческой логики до общего животного уровня, а потом выделить  отдельный человеческий уровень. И будет ли он выше остальных, еще неизвестно. 

Это никак не входит в задачу философии обоснования человеческой логики. Человек  - царь Природы, а не один из многих.   Человеческая логика должна быть единственной и неповторимой. Такую логику человек создавал веками. И создал.

Но, теперь оказалось, что такая уникальная человеческая логика требует формализации,  для выделения из неё автоматических, математических суждений и формул. Иначе наши машины не понимают. Мы уточняем, формализуем уникальное человеческое понятие до автоматического. Для всех. От человека до машины.

Правда, формализация, это, чаще всего и есть – обобщение, абстрагирование от частностей, приведение к общему пониманию. 

Но, все обобщения и абстракции являются философскими инструментами познания. И потому, все основные понятия мы находим в философии. Странно?

Чтобы понять, почему основные понятия логики остались в философии, посмотрим определение философии:

 

Филосо́фия (φιλία — любовь, стремление, жажда + σοφία — мудрость → др.-греч. φιλοσοφία (дословно: любовь к мудрости)) — дисциплина, изучающая наиболее общие существенные характеристики и фундаментальные принципы реальности (бытия) и познания, бытия человека, отношения человека и мира[1][2][3]. Философия обычно описывается как одна из форм мировоззрения[4], одна из форм человеческой деятельности, особый способ познания[2], теория[5] или наука[6].

…Философия включает в себя такие различные дисциплины, как логика, метафизика, онтология, эпистемология, эстетика, этика и др., …

…Фундаментальным методом философии является построение умозаключений, оценивающих те или иные аргументы, касающиеся подобных вопросов. Между тем, точных границ и единой методологии философии не существует. Споры идут и по поводу того, что считать философией, и само определение философии различно в многочисленных философских школах.

 

Логика должна была развиваться как нормативная и методологическая база философии, она должна была формировать методики обоснования истинности или ложности конструкций из суждений в философском рассуждении. Так и было до определенного момента.  Но, если фундаментальным в философии является логический метод доказательства, то такое доказательство уже сложно назвать только логическим.

Не трудно догадаться, что это и стало основой противоречия между логикой и философией    в оценке «правильного мышления».  По этой причине основные понятия системного мышления «потерялись» между логикой и философией.

Потому, что и та, и другая наука считает их своими, но закрепить это окончательно не может.  Вполне объективно, между прочим. На полноправное использование понятий не хватает достаточных аргументов, в том числе и исторических. Философия родилась раньше, а логика, хоть и использовала эти понятия, … но в составе философии… и для нужд философии.  Вот эту запутанную ситуацию мы сегодня и видим.

Математизация логики еще более сдвигает системные ориентиры. Рассуждения, суждения и кванторы, силлогизмы,… теперь еще добавляются высказывания и логика первого порядка. Оказалось, что так приветствуемая  логиками формализация логических понятий на основе законов математики привела логику к окончательному запутыванию системы взаимосвязей в этой науке. Математика вклинилась в сложившуюся  систему понятий логики и разорвала прежде незыблемые связи, заменив их своими. При этом, не очень утруждая себя в объяснениях  своих действий. Главное объяснение – это же очевидно… по правилам математики. А по правилам логики? Это уже не важно…

Формальная логика быстро выросла в самостоятельную науку и потеряла связь с логикой. Даже формальную.

Потому, что формальная логика стала математической. Потому, что цели и задачи математической логики никак не соприкасаются  с понятием «мыслить». Математическая логика использует мощный математический аппарат,  но почти не пользуется логическими методами и операциями. 

С другой стороны, логика пытается использовать математическую объективность в доказательстве высказываний, но не может использовать это в своих логических умозаключениях, нацеленных на философские методы обоснования.

И можно констатировать, что логика и формальная логика, это  уже практически разные логики…

Логические операции хорошо нам известны. И чисто математических операций  в логике нет. Конъюнкция, дизъюнкция, отрицание и импликация вошли в математическую логику только потому, что оказались применимы  и в рамках математического понимания. При этом им все же дали математический эквивалент. Умножение, сложение, инверсия…

Остальные операции в математическую логику не вошли. Почему? Нет математических аналогов понимания. И нормальные, давно известные логические операция выпали из современного общеизвестного понимания логики. 

С другой стороны, мы уже говорили, что математизация вклинилась в логику и стала вносить коррективы. Так как этого требовала математическая логика. В концептуальной части остались только математические направления.   Половина законов логики выражает только математические требования. 

Как следствие из этого – математическая логика перестала понимать логику.  Для математической  логики  причина и следствие ничего не значат.

Математическая логика не имеет такой исходной философии и имеет другую базу формализации, отличную от философской платформы человеческой логики.

Математика, это только часть человеческой логики. Она не может обобщить все логические понятия, имеющие, кроме математических, еще и другие аспекты понимания. Потому, исходя из понимания человечности происхождения логики,  невозможно дать полные и четкие определения всех понятий  только в рамках математической логики.

Программирование  оказалось оборотной стороной математического подхода к логике. Оно, как раз требует логического подхода, а не только математического. И мы вынуждены каждый раз составлять наборы логических аксиом для построения очередного языка программирования только для того, чтобы излагать логические конструкции программы. Программирование потребовало возврата к логике и её правилам и законам, помимо математики.

Странно, но мы этого как бы - не видим, и продолжаем говорить только о математической логике в компьютерной технике. Спросите любого программиста, знает ли он логику, и вы услышите много интересного…           

Логики, сколько их?

 

 

Переходим к тому, из чего сегодня состоит древняя логика. К её современным направлениям. Обо всем мы, конечно, не знаем. Только основные сведения из разных источников.

Но, собственно, основой будет, конечно же, история логики. Например,  здесь.

Вот есть такой список составляющих   логики:

 

 Логика (от греч. λόγοζ — разум слово, мышление) — способность правильно, т.е. логически мыслить; в качестве «элементарной формальной логики» имеет дело с самыми общими свойствами, присущими всем понятиям; в настоящее время распадается на множество направлений:

·        метафизическая логика (гегельянство);

·        диалектическая логика;

·        синкретная логика (С. Федосин);

·        психологическая логика (Т.Липпс, В.Вундт);

·        теоретико-познавательная, или трансцендентальная, логика (неокантианство);

·        семантическая логика (Аристотель, Кюльпе, номинализм);

·        предметная логика (Ремке, Мейнонг, Дриш);

·        неосхоластическая логика;

·        феноменологическая логика;

·        логика как методология (неокантианство);

·        логистика (находится в центре споров о логике).

 

К этому можно добавить еще немного:

 

Неформальная логика (термин принят прежде всего в англоязычной литературе) — исследование аргументации в естественном языке. Одной из главных задач её является исследование логических ошибок. См. Логическая семантика, философская логика, теория аргументации, логический анализ языка.

Любой вывод, сделанный на естественном языке, обладает чисто формальным содержанием (смысл рассуждения может быть разделён на форму мысли и собственно содержание), если можно показать, что он является частным применением абстрактного универсального правила, которое отвлекается от всякого конкретного предмета, свойства или отношения. Именно этот вывод с чисто формальным содержанием называют логическим выводом и основным предметом логики.

Анализ вывода, который раскрывает это чисто формальное содержание, называется формальной логикой.

Символическая логика изучает символические абстракции, которые фиксируют формальную структуру логического вывода.

Мы запомним, что основным предметом логики является формальный вывод. А анализ этого вывода – формальная логика. О ней чуть позже.

А пока посмотрим основные направления … или логики.

 

Классическая логика.

Классическая логикатермин, используемый в математической логике по отношению к той или иной логической системе, для указания того, что для данной логики справедливы все законы (классического) исчисления высказываний, в том числе закон исключения третьего.

 

Логика классическая  - раздел современной (математичес­кой, символической) логики, включающий классическую логику высказываний и классическую логику предикатов. Л.к. опирается на двузначности принцип, в соответствии с которым всякое высказы­вание является или истинным, или ложным.

У истоков Л. к. стоят, наряду со многими другими исследователями, Д. Буль (1815-1864), А. де Морган (1806-1871), Ч. Пирс (1839-1914). В их работах была постепенно реализована идея перенесения в ло­гику тех методов, которые обычно применяются в математике. Пос­ледний шаг в математизации логики в прошлом веке был сделан Г. Фреге (1848-1925). Уже в этом веке важный вклад в развитие Л. к. внесли Б. Рассел (1872-1970), А. Уайтхед (1861-1947), Г. Гиль­берт (1862-1943) и др.

Л. к. ориентировалась главным образом на анализ математичес­ких рассуждений. С этим связаны многие ее особенности, нередко расценивающиеся теперь как недостатки. В частности, формальным аналогом условного высказывания в Л.к. является импликация мате­риальная, для которой верны положения: истинное высказывание имплицируется любым высказыванием, ложное высказывание им­плицирует каждое высказывание и другие парадоксы импликации.

 

 

Неклассические логики.

Напомним:

 

Неклассическая логика соответственно есть логика, в которой один или несколько законов классической логики не выполняются. Самым известным примером неклассической логики есть интуиционистская логика (отказ от закона исключения третьего). Кроме того существуют некоммутативная логика (отказ от коммутативности конъюнкции и дизъюнкции), линейная логика (отказ от идемпотентности конъюнкции и дизъюнкции), немонотонная логика (отказ от монотонности отношения выводимости), квантовая логика (отказ от дистрибутивности ), и огромное множество других.

 

 Википедия говорит и более конкретно:

 

Логики с неклассическим пониманием следования

·        Релевантная логика

·        Паранепротиворечивая логика

·        Немонотонные логики

·        Динамическая логика

·        Логики, отменяющие закон исключённого третьего

·        Интуиционистская логика

·        Конструктивная логика

·        Логика квантовой механики (Квантовая логика)

·        Логики, меняющие таблицы истинности

·        Основная статья: Многозначные логики

·        Многозначная логика

·        Двузначная логика

·        Трёхзначная логика

·        Логики, расширяющие состав высказывания

·        Логика вопросов

·        Логика оценок

·        Логика норм

·        Модальная логика

 

Недедуктивные логические теории

·        Индуктивная логика

·        Вероятностная логика

·        Логика решений

·        Логика нечётких понятий (логика нечётких множеств, нечёткая логика)

·        Аналогия (умозаключение по аналогии).

 

Другие неклассические логики

·        Категориальная логика

·        Комбинаторная логика — это логика, которая заменяет переменные функциями с целью прояснить такие интуитивные операции с переменными, как подстановка. Построенная на базе комбинаторной логики система арифметики содержит все частично рекурсивные функции и избегает гёделевской неполноты.

·        Кондициональная логика (условная логика). Её предмет — истинность условных предложений (в частности, сослагательного наклонения). Логика контрафактических утверждений.

 

Получилось что-то очень разнообразное. Тут и математика, и логика, и философия с психологией вперемешку. Это нам на самостоятельное изучение в свободное время…

И все же, пройдемся по списку…, посмотрим, что найдется.

Формальная логика.

Вот это видимо, классика. Или уже и это не классика, не знаю.

 

Формальная ло́гика [20]— конструирование и исследование правил преобразования высказываний, сохраняющих их истинностное значение безотносительно к содержанию входящих в эти высказывания понятий. В истории философии — отдельный раздел или направление логики конца XIX—начала XX века. Иногда путают с символической, или математической логикой.

 

Формальную логику мы посмотрим по материалам сайта [19]:

 

Современная формальная логика является очень разветвленной наукой и может быть разделена на части по различным основаниям. В зависимости от того, применяется ли математический аппарат (логические исчисления) или изучаются общие формы мысли без его применения, в ней выделяются две части: 1) общая (несимволическая) логика и 2) символическая (математическая) логика.

В свою очередь, общая логика подразделяется на два раздела по различию изучаемых объектов.

Первый раздел является учением об основных формах (элементах) мышления, без которых невозможно ни обыденное, ни научное мышление. К основным формам мышления относятся понятия, суждения и умозаключения. В этот раздел включается учение об основных формально-логических законах.

 Второй раздел включает систематические формы, без которых невозможно научное мышление. Сюда входят определения, классификация, доказательства, логические методы, связанные с анализом данных опыта.

 Математическая логика имеет много разветвлений. Она применяет табличное построение логики высказываний, использует специальный язык символов и формулы логики высказываний[21].

 Понятие «общая логика» в некоторых случаях употребляется для обозначения той части логики, которая отличается от прикладной логики. В прикладной логике исследуются логические формы в отношении к содержанию предмета мышления. Различают в этой связи временную логику, техническую логику и др., в которых строятся специальные системы исчислений.

 

Неформальная логика.

Неформальная ло́гика теория, которая изучает аргументы (доводы) в том виде, как они используются в обыденном языке, в отличие от представления аргументов в искусственном, формальном или техническом языке. Последним занимается формальная логика. Джонсон и Блэр (1987) определяют неформальную логику как «ответвление логики, задачей которой является разработка неформальных стандартов, критериев и процедур для анализа, интерпретации, оценки, критики и построение аргументации в повседневном дискурсе».

 

Неформальная логика (термин принят прежде всего в англоязычной литературе) — исследование аргументации в естественном языке. Одной из главных задач её является исследование логических ошибок.
Любой вывод, сделанный на естественном языке, обладает чисто формальным содержанием (смысл рассуждения может быть разделён на форму мысли и собственно содержание), если можно показать, что он является частным применением абстрактного универсального правила, которое отвлекается от всякого конкретного предмета, свойства или отношения. Именно этот вывод с чисто формальным содержанием называют логическим выводом и основным предметом логики.
Анализ вывода, который раскрывает это чисто формальное содержание, называется формальной логикой.

 

Трансцендентальная логика

Трансцендентальная логика (нем. Transzendentale Logik) — учение Канта о чистых правилах и понятиях рассудка, которые априори определяют наш опыт. Вторая часть Критики чистого разума. Трансцендентальная логика подразделяется на трансцендентальную аналитику и трансцендентальную диалектику.

 

ТРАНСЦЕНДЕНТА́ЛЬНАЯ ЛО́ГИКА,  термин, введенный Кантом; обозначает логику, к-рая, в отличие от обычной, формальной логики, исследует в логич. формах и функциях то, что обосновывает в них возможность синтетич. суждений a priori. В указанном здесь значении Т. л. Канта совпадает с его теорией познания. Идеи Т. л. Кант изложил в одноименном разделе "Критики чистого разума" (см. Соч., т. 3, М., 1964, с. 154–592; ср. т. 2, М., 1964, с. 381–425).

ТРАНСЦЕНДЕНТА́ЛЬНАЯ ЛО́ГИКА - вторая часть трансцендентального учения о началах в “Критике чистого разума” Канта – “наука о правилах рассудка вообще”, исследующая этот рассудок под углом зрения его априорных форм и структур. До Канта эти правила мышления, без которых невозможно никакое применение рассудка, изучала так называемая общая (т.е. формальная) логика. Имея дело с априорными принципами мышления, она, по Канту, всячески абстрагировалась от всякого содержания познания, т.е. от всякого отношения его к объекту, рассматривая исключительно формы мысли как таковые. Оценивая место и роль этой логики в познании как недостаточные, Кант обозначает контуры принципиально новой Т.Л., выражая тем самым первое в немецкой философии критическое отношение к формальной логике. …

 Называя ее трансцендентальной, Кант имел в виду то, что она “имеет дело только с законами рассудка и разума… лишь постольку, поскольку она априори относится к предметам”. Она не вникает во все конкретные, субъективные процессы познания, рассматривая лишь некоторые “чистые возможности”, имеющие всеобщее и необходимое значение. Содержательный характер Т.Л. приобретает, согласно Канту, за счет ее тесной и постоянной связи с чувственностью, соединение которой с рассудком только и дает новое знание. Исследование происхождения знаний о предметах становится одной из главных задач Т.Л., которая и выясняет саму возможность применения априорного знания к предметам опыта. Свою Т.Л. Кант подразделил на аналитику и диалектику, из которых первая излагает элементы чистого рассудочного знания и принципы, без которых ни один предмет не может быть мыслим, а вторая – является критикой рассудка и разума в его сверхфизическом применении.

 

Вероятностная логика

Вероятностная логика логика, в которой высказываниям приписываются не исключительно значения истины и лжи как в двузначной логике, но непрерывная шкала значений истинности от 0 до 1, так что, нуль соответствует невозможному событию, единица — практически достоверному[1][2]. Значения истинности в вероятностной логике называются вероятностями истинности высказываний, степенями правдоподобия или подтверждения[3].

Проблематика вероятностной логики начала развиваться в древности, например, Аристотелем и в новое время — Г. В. Лейбницем, Дж. Булем, У. С. Джевонсом, Дж. Венном, в дальнейшем Г. Рейхенбахом, Р. Карнапом, Ч. С. Пирсом, Дж. М. Кейнсом и другими, в России — П. С. Порецким, С. Н. Бернштейном и другими[1][4][5].

В настоящее время вероятностная логика находит наибольшее применение в качестве современной формы индуктивной логики[6][5]. Новым стимулом к возникновению систем вероятностной логики послужил прогресс в развитии приложений к искусственному интеллекту[7].

 

Многозначные логики.

Многозначная ло́гика — тип формальной логики, характерный наличием более чем двух возможных истинностных значений (истинности и ложности). Первую систему многозначной логики предложил польский математик Ян Лукасевич в 1920 году. В настоящее время существует очень много других систем многозначной логики, которые в свою очередь могут быть сгруппированы по классам. Важнейшими из таких классов являются частичные логики и нечёткие логики.

 

Модальная логика.

Модальная (от лат. – способ, мера) логикалогика, в которой кроме стандартных логических связок, переменных и/или предикатов есть модальности (модальные операторы). Модальности бывают разные; наиболее распространены временны́е («когда-то в будущем», «всегда в прошлом», «всегда» и т. д.) и пространственные («здесь», «где-то», «близко» и т. д.). Например, модальная логика способна оперировать утверждениями типа «Москва всегда была столицей России» или «Санкт-Петербург, когда-то в прошлом, был столицей России», которые невозможно или крайне сложно выразить в немодальном языке. Кроме временных и пространственных модальностей есть и другие, например «известно, что» (логика знания) или «можно доказать, что» (логика доказуемости).

 

По применяемым модальностям существует множество различных модальных логик: временных, пространственных, нормативных и т.д. Частью модальной логики стала и деонтическая логика.

 

Деонтическая логика.

ДЕОНТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА (греч. δἐον, οντος, τό – должное, необходимое, обязанность) – область неклассических логик, в которых изучаются нормативные высказывания и нормативные понятия – обязательно, запрещено, разрешено и безразлично. Вопрос о логической природе норм, императивов и команд имеет многовековую традицию. Он рассматривался Аристотелем, стоиками, средневековыми философами, Лейбницем, Юмом, и др. Однако первая попытка построить формальную теорию нормативных понятий принадлежит Эрнсту Малли («Элементы логики волеизъявлений», 1926). На философские установки Малли оказал влияние английский философ и юрист Бентам[22]. Именно Бентаму принадлежит термин «деонтология» («Деонтология, или наука о морали», 1834). Серьезный импульс исследованию норм был дан работами 50-х гг. Г.X. фон Вригта (Логико-философские исследования. – Избр. труды. М., 1986).

 

Деонти́ческая ло́гика (от др.-греч. δέον — долг и логика; логика норм, нормативная логика) — раздел ло­гики, исследующий логическую структуру и логические связи нор­мативных высказываний. Деонтическая логика является также разделом модальной логики и одним из исследовательских направлений неклассической логики.

 

Деонтическая[23] логика, как часть модальной, слагается из множества систем, или «логик», различающихся используемыми символическими средствами и доказуемыми утверждениями. Предполагается, что все многообразные нормы имеют одну и ту же структуру. Продолжим конспектировать НФЭ:

 

Выделяются четыре структурных «элемента» нормы:

·        характер — норма обязывает, разрешает или запрещает;

·        содержание — действие, которое должно быть, может быть или не должно быть выполнено;

·        условия приложения;

·        субъект — лицо или группа лиц, которым адресована норма.

 

Подход деонтической логики к структуре норм является предельно общим. Это позволяет распространить ее законы на нормы любых видов, независимо от их частных особенностей. Правила игры и грамматики, законы государства и команды, технические нормы, обычаи, моральные принципы, идеалы и т.д. — нормы всех этих видов имеют одинаковую логическую структуру и демонстрируют одинаковое «логическое поведение».

 

Внимание логиков привлекла работа Лейбница “Элементы естественного права” (1671), в которой деонтическим понятиям “справедливое” (дозволенное), “несправедливое” (недозволенное), “беспристрастное” (должное), “безразличное” ставятся в соответствие онтологические понятия “возможно”, “невозможно”, “необходимо”,  “случайно” (у Лейбница для идеального существа — “доброго человека”).

В свою очередь все онтологические модальности  можно переформулировать в терминах возможности и отрицания: может быть, не может быть, не может не быть, может не быть.

… При онтологическом подходе запрещение можно определить в терминах разрешения, и наоборот. В таком случае правомерны принципы “все, что не запрещено—разрешено” и “все, что не разрешено—запрещено”.

    Возрастает интерес к деонтической логике со стороны информатики, что диктуется потребностями практики.  … Периодически проводятся конференции по компьютерным приложениям деонтических систем.[24]

 

Диалектическая логика.

С точки зрения, что логика, это часть философии, есть повод немного разобраться, например, с диалектической логикой. Начнем с Википедии:

 

Диалектическая логика — раздел философии марксизма. В широком смысле понималась как систематически развёрнутое изложение диалектики как логики (науки о мышлении) и теории познания объективного мира. В узком смысле понималась как логическая дисциплина о формах правильных рассуждений, как и в формальной логике, однако с учётом действия законов диалектики. Значительный вклад в развитие диалектической логики внесли Э. В. Ильенков, В. А. Вазюлин, З. М. Оруджев, И. С. Нарский.

… Предмет диалектической логики — мышление. Диалектическая логика имела своей целью развернуть его изображение в необходимых его моментах и притом в независящей ни от воли, ни от сознания последовательности, а также утвердить свой статус как логической дисциплины.

Диалектическая логика была наиболее распространена в так называемых социалистических странах, прежде всего