Чуть-чуть математики …

Куда же без математики? Хоть и трудно с ней, но без неё совсем невозможно.

В этом разделе я попробовал показать некоторые несложные, но основные сведения, без которых невозможно понять смысл дальнейших действий.

Мне кажется, что мы немного замкнулись в применении систем счисления. Что и говорить, хорошие системы. Двоичная, десятичная, восьмеричная и их комбинации. Но, и на солнце есть пятна. Эти системы имеют и недостатки.

Сегодня основным достоинством двоичной системы счисления считается бинарная запись. Это когда есть только 0 и 1. Но бинарную запись можно применить не только в двоичной системе счисления. Есть и другие. Их применение, возможно, сдерживается неизвестностью в широких кругах. Несколько таких систем я здесь показал.

Некоторые основные понятия математики, такие как число, разряд, настолько привычны и очевидны, что забывается их изначальное предназначение. Позиционная система записи возникла из графического понимания. Из лунок на песке, корзин…, вот тут возьмем, а сюда положим. Давайте вернемся к геометрии числа, где каждый разряд, это место в пространстве или на плоскости. И это место определяется формулой только той системы счета, в рамках которой и существует число. Разные системы, и числа разные, и их геометрия различна.

И вдруг оказывается, что запись числа, даже в рамках принятой позиционной системы может быть неоднозначной. Графическая форма отображения числа, богаче принятой – линейной. У чисел есть несколько путей развития, но линейная форма записи не дает этого увидеть.

Вот такие мелочи мы и посмотрим…

Системы счисления.

Нет хороших или плохих систем счисления, есть хорошее или плохое их применение. Разговор пойдет о системах счисления, не очень знакомых широкой публике.

Единичная система счисления, это техническая форма решения задачи выбора и формализации простейшего принципа движения единиц в составе конструкции числа.

Уникальные свойства имеют системы счисления на основе числа Ф. Они стоят на первом месте в борьбе с ошибками, возникающими при передаче и хранении информации. Для разработчиков компьютеров и компьютерных сетей это качество в выборе системы счисления является решающим. Но, все в мире относительно…

Единичная система счисления.

Необходимость разработки единичной системы счисления.

Все началось с вопроса. Как можно считать, если счетной системы нет? Но, какая-то система упорядочивания все равно должна быть. Надо же как-то обеспечить равный доступ ко всем единицам и местам их размещения. Самое простое – выставить все единицы в линию…

Есть линия счета, хоть как-то упорядочивающая количество. На ней находятся места для единиц счета. Можно ставить единицы на эти места в каком-то порядке, что и покажет их количество.

Формализация числовой записи с определением порядка установки единиц на линии счета и потребовала формирования единичной системы счисления. Сначала казалось, что все просто. В записи N = 1111111… для получения количества надо просто суммировать единицы.

Принцип отображения взят самый понятный сегодня – позиционный. Законы формирования позиционных счетных систем хорошо известны.

При более детальном рассмотрении оказалось, что равенство 1 = 1ⁿ при n0 в единичной счетной системе существовать не может. Потом выявились и другие трудности. Задача перешла в теоретическую плоскость. Можно ли, вообще, такую счетную систему создать, и при каких условиях она будет существовать и работать?

Чем отличаются 1, 1⁰ и, допустим, 1³? С точки зрения математики – ничем. Но, записи, почему-то отличаются? Надо эти различия как-то закрепить. Хотя бы формально. Не выходя за рамки той же математики.

Практическая необходимость в такой системе возникает при подходе к электронным способам вычислений, коммутации множества одинаковых счетных каналов и т.д. Когда нет предварительной нумерации и кодирования. Как и в каком порядке их выбирать? Можно в любом, нам всё равно. Можно. Но, этот «любой» порядок должен быть хоть как-то формализован. На уровне 0 и 1. Дальше счет только мы знаем, а машина? Счетный импульс номера не имеет.

Единичная система счисления, видимо, разрабатывалась уже неоднократно. В этом я, кажется, далеко не первый. Известна разработка Таганрогского радиотехнического института. И вполне возможно, что они тоже не первые. Ну что же, жизнь требует.

Единичная система изначально искусственная. Для ее создания потребовалось применить «маленькие хитрости», впрочем, хорошо известные не только математикам. И формальные, ну, очень формальные правила…

Основы единичной системы счисления.

Основание счетной системы – 1.

Разрядная шкала:

1^-n,…1^-1,1⁰, 1¹,… 1⁺ⁿ

где n – любое целое число.

Позиционное представление числа подразумевает, что число — это сумма разрядных единиц разных весов. Так как, у нас основание содержит только одну единицу, но, формально, по аналогии с другими системами полный разряд должен содержать количество единиц на одну единицу или на ее долю, хоть малую, но меньше основания системы счисления.

Число при выполнении равенства 1=1ⁿ и n 0, в рамках этой системы счисления не может существовать. Возникает бесконечное переполнение, переходящее из одного разряда в другой, в сторону увеличения. Таким образом, единица, попавшая в любой разряд единичного числа, сразу начинает движение в сторону увеличения степени основания и не может остановиться. При этом ее вес как-то изменяется в соответствии с каждым новым разрядом, оставаясь, формально, постоянным по абсолютной величине.

Разделение единицы счета и разрядной единицы.

Для того чтобы число могло существовать в этой системе, надо разделить единицы счета и разрядные единицы системы.

Формально они разделены по определению. Мы лишь зафиксируем их различия:

Разрядная единица в разных разрядах числа имеет разный вес.

Единица счета обладает только одним весом. Этот вес принят за вес единицы нулевого разряда числа в этой системе счисления.

Введем формальное различие в написании этих единиц.

Единица со степенью — это разрядная единица, а единица без степени – это единица счета.

Единица счета формально должна иметь минимальный вес. Она должна быть меньше всех целых положительных разрядных единиц. Или емкость нулевого разряда должна быть больше счетной единицы. Соответственно, вес разрядной единицы должен быть меньше емкости разряда, иначе разрядная единица не сможет в нем удержаться.

Это приводит к определению единицы счета:

где n- любое число, не равное 0.

Полная емкость нулевого разряда:

q- разность между весом единицы и полной емкостью разряда.

Она может быть сколь угодно малой, но должна существовать. Это основа устойчивости единичной счетной системы. О ней чуть позже…

А так же:

при n 0

Формальные различия в записи правой и левой частей неравенства говорят о том, что неравенство формально может существовать, и чуть ниже мы закрепим справедливость этого неравенства определением различий.

Величина q.

Введем малую величину q:

Величина q 0, потому для нее будут справедливы выражения:

при n , n , n0.

Теперь введем эту величину, уже как определенную, в общую формулу (22) емкости нулевого разряда числа. Это необходимо для существования единичной системы и справедливо по отношению к другим системам счисления.

Воспользуемся формулой (22) для определения веса единицы счета:

Соответственно:

Таким образом, емкость нулевого разряда числа отличается от веса размещаемой в нем единицы счета на величину q. Это позволяет существовать нулевому разряду числа в рамках единичной системы счисления.

Получение веса единиц нового разряда числа.

Для формирования веса единиц следующих разрядов единичной системы счисления, подходит способ умножения.

Формально вес разрядной единицы в разряде 1⁰ составляет 1, а полная емкость разряда, соответственно:

Десяток или основание единичной системы счета:

Это следствие из формулы (22), так как:

Далее емкость разрядов числа равна:

Вес единиц каждого, более старшего разряда увеличивается в 1¹ раз.

Недостача величины q в каждом разряде удерживает разрядную единицу в рамках разряда, без его переполнения. Система счисления оказывается стабильной и работоспособной.

Число в единичной системе.

Одна единица счета может разместиться в нулевом разряде. Появление второй единицы вызывает переполнение разряда и перенос части содержимого в виде новой разрядной единицы в новый разряд. Переполнение разряда большое и остаток от суммы единиц остается в разряде.

0+1 = 1

1+1 = 11

1+11=111 и т.д.

Способы получения числа.

Число, полученное простым суммированием по формуле N=1+1+1+…, изначально будет иметь полную структуру:

1=1=0+1

2=11= 1+1

3=111= 11+1 и т.д.

Постепенно заполняются разряды числа в сторону увеличения веса, при сохранении полной структуры типа: 1111…

Число можно получить, например, умножением:

1*1⁵ = 10000

11*100= 1100

Более сложные действия, применяемые при получении числа, приводят к общей форме числа в этой системе счисления:

10111000110; 0,111011 или 100010 и т.д.

Как и во всех рациональных системах счисления, разряд числа этой системы обладает свойством независимости, т.е. изменение его состояния, если оно не приводит к переполнению, не отражается на состоянии соседних разрядов. Это, и хорошо, и плохо. В системах цифровой техники это свойство – основная причина головной боли специалистов по надежности и достоверности обработки, передачи и хранения информации.

Действия над числами.

Проведение математических операций с числами этой системы ничем не отличается от общепринятых. Не стоило бы на них и останавливаться. Сложение, вычитание, умножение, деление и т.д. проводятся обычным порядком с учетом системы счета.

Но, …

В числе единичной системы счисления форма отображения и его количественное наполнение расходятся окончательно. С точки зрения количественного наполнения числа: 1001 = 11=1100= 0,0101. Это противоречит позиционной форме отображения. Все эти числа имеют количественное наполнение по две единицы.

Количественное наполнение единичного числа, содержащего десятичную дробную часть в этой системе, к сожалению, может быть только целым.

Под десятичной дробной частью здесь и далее понимается дробная часть единичного числа в долях основания системы счета или его степени, полученная по формуле:

Где: 10₁ =1¹

n₁- единичное целое число с полным нулевым разрядом;

m0

И потому, перевод дробного числа любой другой системы в полный единичный эквивалент с десятичной дробью невозможен. Например:

0,5=1/2₁₀=1/11₁

Всё. На этом можно остановиться. Так как дальнейшие преобразование простой дроби в десятичную затруднительны. Нет такого дополнительного множителя, способного превратить число 11₁ в число10₁ⁿ в знаменателедроби. По крайней мере, я не нашел. Десятичная дробь в этой системе существует отдельно от простых дробей. Она отражает только преобразование числа в процессе умножения и деления на 10₁ⁿ.

С другой стороны, это и большое преимущество. Десятичная дробная часть единичного числа, это вторая ветвь развития числа. И к тому же совершенно независимая.

В данной системе счисления число становится самодостаточной величиной. Число, оно само по себе — число. Для него первичным становится процесс его получения, а количественная оценка вторична. Количество счетных единиц, составляющих наполнение этого числа, может быть одним, а форм отображения этого количества – сколько угодно. Число, в единичной системе, фиксирует порядок его получения, а количественное наполнение — какое получится. Форма явно превалирует над содержанием.