А.В.Никитин

Ноль и бесконечность.  С самого начала...

Сначала хочу выразить благодарность Шенягину В.П. за статью [3], и руководству АТ за решение о публикации.  От всех любителей математики. Хочу также поблагодарить В.Ю.Ипатова за участие в подготовке формул и обсуждении некоторых положений данной статьи.

Эта тема для дилетантов и любителей. Профессионалы тут и ухом не поведут…, у них есть вполне стройная теория множеств и теория пределов. Там все давно расписано.

Но, любопытство неистребимо.

Как мне кажется, почти любой начинающий математик обязательно стукнется об эти бесконечно большие и бесконечно малые…, попробует свои силы в действиях с бесконечностью.  И придет к парадоксальному выводу: бесконечность, это все равно – число, отношение или количество.  А дальше, как ни назови… 

И, значит, мы вправе делать с ним те же действия, что и с остальными числами и множествами. Это вроде никто и не запрещал.

Правда, есть неопределенности, но, можно и их попробовать разрешить…

Почему эта тема постоянно интересна?

Потому, что книг, рассказывающих о действиях с бесконечностями простым и доступным для всех языком, или мало, или нет совсем, не знаю. Но мне такие пока не попадались. А в серьезных книгах и язык изложения соответствующий…, дилетанту  не разобраться. Справочники, даже такие, как [4] и [5] помогают в этом мало.

Вот и пытаемся мы, дилетанты, дойти до понимания своим умом. Как умеем, так и доходим. 

Надо подготовиться…

Введем несколько понятий для обоснования и вывода формул.

Данные ниже определения не претендуют на точность формулировок. Для получения более полной информации можно обратиться  к [1,2]. 

Счетным множеством называют множество чисел, например, натуральных или рациональных, которое имеет  хоть и неизвестную, но счетную мощность. Любое число из счетного множества исчислимо и является счетной величиной.

Счетные величины:

 – бесконечно малое рациональное число, .

М – бесконечно большое рациональное число,

а – конечное рациональное число.

Несчетным множеством называются множества, которые не могут быть вычислены. Это предел, к которому стремится то или иное счетное множество. Любое число несчетного множества потенциально неисчислимо и может назваться несчетной величиной. Примеры несчетных величин – константы π и е, например. Мы знаем их давно, но точное значение этих иррациональных чисел никогда не будет вычислено…

Нас интересуют такие несчетные величины:

0 – бесконечно малое вещественное число.

∞ - бесконечно большое вещественное число.

Если с понятием бесконечности и несчетности величины ∞ проблем почти не возникает, то с понятием несчетной величины 0  - одни проблемы.

Есть абсолютная величина 0 = НИЧЕГО. Пустое место. Это вроде понятно. Когда мы видим пример 1-1=0, то четко понимаем, в ответе - Ничего. Пустота.

Когда мы сталкиваемся с относительным пониманием, что 0, это предельная точность измерения или предел погрешности этих измерений, то тут начинаются сложности. Где «еще не 0», а где «уже точно - 0»? 

Над этим можно бы и посмеяться, но посмотрите на электронные термометры, развешенные по улицам города для того, чтобы жители могли знать температуру воздуха. При температуре близкой к 0^оС эти термометры начинают давать интересные показания: то +0, то -0…, и почти никогда без знака (+) или (-). Так 0 или не 0? Как это понимать?

А так и понимать, что в данном случае,  0  – понятие относительное, связанное с точностью проводимых измерений.

И «0» становится неуловимым. К нему можно стремиться бесконечно.

Мы будем относиться к числу 0 в формулах несчетных величин, как относительной величине в пределе своего приближения к абсолютному значению. Да, это ноль, но все же … немножечко… не ноль. На самую малость. Она меньше чем даже бесконечно малая , но… абсолютной пустоты не дает. Вот эту малость мы и будем записывать как 0 в формулах с несчетными величинами. Вот примерно так…

Иначе переходить от счетных величин к несчетным будет трудно.

Теперь дадим основные соотношения и пояснения по введенным величинам.

Сначала дадим формулу для  :

Эта счетная бесконечно малая величина уже была введена автором статьи [3] формулой (35):

И дополнением к формуле (38) там же [3]:

Как мне кажется, совершенно справедливо и обосновано.

Теперь дадим формулу получения М.

Например так:

Бесконечно большое число М в своем пределе стремится к ∞.

Величины   и М мы ввели как счетные эквиваленты несчетных величин 0 и ∞ соответственно.

Число а, это любое рациональное число в диапазоне  . Как частные случаи,  мы будем рассматривать  и несколько числовых значений, например: а₁=1.

Теперь можно составить шкалу размерностей:

Осталось одно замечание: Ниже, в тексте статьи, в каждой нумерованной строке формул слева дается формула для счетной величины, справа – для несчетной. Линии табличного формата оставлены для облегчения чтения формул.

Все подготовительные действия сделаны. Можно переходить к изложению материала.

Основные математические действия с предельными величинами.

Начнем  с самого простого.

Сложение.

Вычитание.

Эти действия сомнений не вызывают. Пока, во всяком случае.

Умножение.

 Если действия со счетными воспринимаются естественно, то можно предположить, что методологически допустимы и аналогичные записи математических действий с их несчетными эквивалентами.

Мы понимаем, что это только формальное допущение, а с другой стороны…. 

Вернемся к этому вопросу при рассмотрении действий деления и действий со степенями.

А пока продолжим:

Эти выражения в комментариях вроде бы не нуждаются. Сомнения возникают разве что при рассмотрении формулы (16).  Но примерно такое же мнение мы находим в [4] и [5] в параграфе о бесконечных…

Деление.

Деление величин одной размерности:

Здесь и делимое, и делитель, это величины одной размерности. И результат деления должен быть конечной счетной величиной.

Неопределенность результата деления несчетных величин, типа    и  , не устраняется, но формализуется введением деления их счетных эквивалентов. Формулы (18)…(20), прежде всего, отражают формальную счетность результата деления - частного, а не конкретную величина делимого и делителя.

Деление большего числа на меньшее:

Деление меньшего на большее:

Да,  в формулах (23) и (26) получилось вот так…, в соответствии с выводом автора [3] и С.Алферова.

Действия со степенями.

Вот тут впервые появилось первое, но не последнее, конкретное значение счетной величины а в результате. В данном случае: а=1.

Следующие четыре формулы отражают скорее философский смысл, вкладываемый в понятие бесконечно большого числа – бесконечности. Естественно, бесконечность, как несчетное множество, при а≥1 и а→М, останется таковой в любой степени этого диапазона изменения а.

Точно также и бесконечно малое число, →0, при а≥1 и а→М, останется бесконечно малым.  

Но формально формулы (23) и (26) справедливы. Мы обязаны учитывать и это. Тем более, когда речь идет о формально счетных множествах М и  . Тем более что, чаще всего, при расчетах значения М и  задаются.

В конце концов, у  равенств (29) …(31) , для 0 и ∞,  две стороны…, и их вполне возможно прочитать, как справа налево, так и слева направо.  Если мы говорим о философских понятиях и категориях. 

Что выражает так любимое математиками выражение «…множество всех подмножеств…», как не максимально возможное  из формулы (32)? Потому, что говорят они не о сумме каких-то множеств, а о предельно возможном количестве… в формально допустимой форме.

И это выражение сомнений у математиков не вызывает. А меньшая степень вызывает сомнения?

Мы переходим к другим диапазонам изменения счетной величины а и граничным точкам:

 По сути дела мы рассматриваем окрестности точки: а=1; 

Далее, для вывода формул нам необходимо воспользоваться предельными выражениями. Посмотрим результат:

Теперь посмотрим, какой результат мы получим при возведении а, определенных выше диапазонов изменения, в любую исчислимую, а так же в бесконечно большую и бесконечно малую степень в граничных точках.

При а=1:

При а=:

При а=:

Формулы (43) и (45) являются модификацией  формул (35) и дополнения к формуле (38) в статье[3].

Итог ожидаемый. Только целое число 1 в любой степени останется самим собой. Малейшее отклонение а от целой единицы, даже на бесконечно малую величину, ведет к изменению результата. 

Вот на этом пока и остановимся.

Заключение.

Я не ставил себе целью полностью разобраться с бесконечными …

Мне кажется, что В.П. Шенягин в своей работе [3] достаточно объективно оценил круг вопросов по этой теме.  Для меня интерес представляют арифметические действия с нулем и бесконечностью. Вот на них я и сосредоточился.

И вопрос не в том, знаком ли я с трудами Кантора и Геделя, а в том, что действия с бесконечностями хотелось бы привести к виду, понимаемому всеми, а не только профессиональными математиками. К простым формулам, пусть и немного ограниченного применения, но без особых математических нагромождений.

Тема еще далека от своего исчерпания. Возможно, что последует продолжение разговора. Да и я  еще немного подумаю…

Если возникнут вопросы – обращайтесь.  На  адрес: andvnikitin@yandex.ru

Или на сайт: http://andrejnikitin.narod.ru/

Поговорим…

Литература:

1.      Счетное множество. Википедия. http://ru.wikipedia.org/?oldid=31487395

2.      Теория множеств. Википедия. http://ru.wikipedia.org/?oldid=33955155

3.      Шенягин В.П. Нуль (ноль): число, функция, образ, проявление и систематизация http://www.trinitas.ru/rus/doc/0016/001c/1828-shen.pdf

4.      Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. М, ФИЗМАТГИЗ, 1959г.

5.      Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М, ФИЗМАТГИЗ, 1961г.