А.В.Никитин

Понимание логики.

 

Оглавление

Часть 1. Как формальная логика стала классической…

Причины формализации логики.

Формализация логики слова

Софистика.

Схоластика.

«Знание — сила»

Трансцендентальная логика Канта

Спекулятивная логика Гегеля.

История математизации логики.

Символическая алгебра Виета.

Философия Рене Декарта.

Истинная логика Б.Спинозы.

Логика Лейбница.

Булева логика.

«Кембриджский символист» Август де Морган.

Семиотика Пирса.

Бертран Рассел и Альфред Норт Уайтхед

Логика Людвига  Витгенштейна.

Развитие математической теории логики.

Техника для математики и логики.

Логические вентили Клода Шеннона.

Электронная логика Дж.Стибица

Цифровой вычислитель.

Принципы фон Неймана.

Аналоговый компьютер.

Кибернетика Норберта Винера.

Проблемы кибернетики.

Часть 2. Начинаем обобщать…

Техническая основа логики.

Это не логика?

Эвристика.

Невербальное общение

Интуиция.

Преднамеренная подмена.

Что же такое – логика?

Восхождение вглубь.

Система логики.

Логика слова.

Символьная логика.

Логика образных понятий.

Логические эквиваленты.

Математическая логика.

Цель в логике.

Логическое обоснование.

Заключение.

Литература:

 

 

 

У нас, что ни день, создается новая логика. Логика развития, логика прогресса, логика, логика …. И уже не очень понятно, чем та логика отличается от этой, чем все они вообще отличаются друг от друга, или наоборот, чем они схожи, чтобы называться логиками?

Что их различает или объединяет?

А что вообще такое – логика? 

Ну, например, логика, это…, и далее идет многообразие определений…

С некоторыми мы познакомимся в этой работе.  Но если рассматривать самое распространенное определение, то, это например, такое [24]:

 

 ЛОГИКА (от греч. logos — слово, понятие, рассуждение, разум), или Формальная логика, — наука о законах и операциях правильного мышления. Согласно основному принципу логики, правильность рассуждения (вывода) определяется только его логической формой, или структурой, и не зависит от конкретного содержания входящих в него утверждений. Различие между формой и содержанием может быть сделано явным с помощью особого языка, оно относительно и зависит от выбора языка.

 

Это вполне современное определение, соответствующее духу сегодняшнего дня. Вроде бы здесь всё достаточно четко и конкретно. Тогда почему каждый день возникают и ширятся все новые логики? Имеют ли они право называться логиками?

В недалеком прошлом определение логики было чуть проще.  Примерно так: Логика – наука о правильном мышлении.  Сегодня это определение уже вызывает ностальгию…

Вот еще одно определение:

 

Логика (др.-греч. λογική — раздел философии, «наука о правильном мышлении», «искусство рассуждения» от λόγος — «речь», «рассуждение», «мысль») — наука о формах, методах и законах интеллектуальной познавательной деятельности, формализуемых с помощью логического языка.

 

Отметим явно видимые различия в этих определениях.

Рассмотрим основные положения, так или иначе присутствующие в определениях логики  у разных авторов:

Первое: Логика – раздел философии. С этим мы разберемся отдельно.

Второе: Логика – искусство рассуждения. 

И добавим, исторически: логика – искусство ведения спора.

Третье: Логика - наука о правильном мышлении. Классика определения.  Это включено во все определения логики. Но вот «правильность» мышления уже понимается всеми авторами различно. Пока мы не будем останавливаться на этом.

Четвертое: Логика - наука о методах познания. Как мы видим, это положение включается в общее определение не всегда.

Пятое: Логика - наука формального языка.

Шестое: Логика – наука доказательства формального вывода (истины).

Видимо, перечень положений можно и продолжить, но, остановимся пока на этом.  Достаточно.

Такое вот оно, определение науки, являющейся основой любого движения мысли…

При таком широком спектре основных положений, определяющих логику, сложно установить критерии достаточности оснований для отнесения того или иного метода структурирования какого либо процесса или его развития во времени к логике.  И нет ничего удивительного в том, что новые логики появляются каждый день. 

С другой стороны, если мы имеем такое широкое понимание логики, то, возможно, мы что-то пока не учитываем, формируя очередное определение. Что-то упускаем...

У меня всегда вызывает некоторое сомнение вот такая широта формулирования определения логики, как науки. Читаешь и понимаешь: Логика, это наше – всё…

Ну, как-то примерно так.   А по сторонам глянешь, где же она, логика, должна быть во всем, везде, вокруг нас и в нас…, а как-то не сразу, и чаще с большим трудом, находишь эту самую логику. Но во всех науках, да и не только в науке, а просто все кругом твердят: это логично, это логически обоснованно, это формально верно, логика это подтверждает…

Что логично, что и кто подтверждает, как это – логически обоснованно?

Как «искусство спора» стало «правильным мышлением», разделом философии, а потом вдруг стало разделом математики и формальным языком?

Часть 1. Как формальная логика стала классической…

 

Почему-то непонимание возникает сразу, на стадии чтения определений.  Еще до любой попытки что-то сказать.

Вот определения логик, о которых пойдет речь далее:

 

Формальная логика - наука о мышлении, предметом к-рой является исследование умозаключений и доказательств с т. зр. их формы (формы логической) и в отвлечении от их конкретного содержания. Ф. л. является базисной наукой – ее идеи и методы используются как в повседневной практике, напр. в качестве средства от логич. ошибок, так и в особенности в теории для логического анализа науч. знания и для дедуктивного (синтетического) построения на базе логических исчислений любых "нелогических" науч. дисциплин.

Формальная ло́гика — конструирование и исследование правил преобразования высказываний, сохраняющих их истинностное значение безотносительно к содержанию входящих в эти высказывания понятий. В истории философии — отдельный раздел или направление логики конца XIX—начала XX века. Иногда путают с символической, или математической логикой.

Математическая ло́гика (теоретическая логика, символическая логика) — раздел математики, изучающий доказательства и вопросы оснований математики.

Классическая логикатермин, используемый в математической логике по отношению к той или иной логической системе, для указания того, что для данной логики справедливы все законы (классического) исчисления высказываний, в том числе закон исключения третьего.

 

Не правда ли, всем сразу стало всё понятно…

Или всё же … не очень? 

И потому, мы не будем пока именовать логику формальной или классической. Есть логика, и есть  логика математическая. Есть процесс формализации логики и процесс превращения логики в математическую логику. Как и почему это получилось?

Вот о чем мы и поговорим в этой части …

Здесь мы рассмотрим историю  формализации логики, её понятий, формулировок, подхода, наконец. Вся история логики, так или иначе, связана с формализацией.

В этом основа логики. Логика и возникла, как способ формирования доказательства, объективного обоснования своего пути к истине конечного вывода в споре.

Но пути формализации логики различны. Они извилисты и замысловаты.

Формализации с самого начала стала подвергаться основа логики – слово. Точнее, вложенное в него  формальное понятие. В этом объективная основа софистики.

Софистика сегодня воспринимается в основном отрицательно, хотя никаких причин для этого у современного человека нет.

Формализации стала постепенно подвергаться и другая сторона слова, как понятия. Стала иначе осмысливаться философская сторона вкладываемого в понятие смысла, и формирование нового, в том числе  не всегда обоснованного.

Этот путь развития философии и логики имеет название – схоластики. Странно, но и схоластика имеет исторически негативный оттенок восприятия.

Начало формализации логики обычно сопоставляется с её геометрической основой возникновения в Древней Греции. И на самом деле, математизация логики, начавшись с геометрических способов доказательств, уже не прекращалась никогда.  Формальная логика много взяла из математики в своем развитии.

Почти все законы логики взяты из математики, взаимодействие логических объектов стало записываться математическими формулами логических действий. Постепенно и логические операции стали иметь четко выраженный математический вид и смысл.

На этом этапе логика слова кончилась. 

Логика высказываний стала математической логикой, где слову уже не было места. Слово было заменено символом. Логика стала алгеброй. Но многое в новой алгебре логики продолжало домысливаться. Простое математическое выражение, оказывается, имело много разных трактовок, пониманий и смыслов.

Конечно, математика - очень абстрагированная наука, но тут разговор идет не о логическом обобщении пути решения какой-то задачи по единому алгоритму, это уже понятный путь, а о формализации понимания для машинных операций.

В процесс вычисления пришла машина.

И оказалось, что она не понимает условностей логики, разумных решений, этических правил, вообще любых домысливаемых результатов решения логической задачи. Что написано, то и включено в решение. Только это будет влиять на результат.

И теперь техника определяет те или иные пути решения задач вместе с всем объемом получаемых результатов. Вычислительная машина стала определять прогресс развития логики.

Мы вдруг с удивлением обнаружили функциональное сходство многих машинных узлов с некоторыми органами нашего тела. Мозг вдруг обнаружил сходство с процессором компьютера, ДНК  подходит на роль долговременной память системы.  Да и мы вдруг стали рассматривать себя, как сложные системы управления на основе обратных связей. 

Возникла новая наука – кибернетика.

Но кибернетика решает проблемы уже полвека, а вопросы не хотят уходить, они только ширятся. Почему победное шествие компьютера никуда не ведет в развитии логики?

Ответов нет … 

 

 

Причины формализации логики.

Логика появилась, именно, как вариант формализации. Или принцип формализации. Или, может быть, набор принципов.

В логическом споре надо было каким-то образом убедить собеседника в своей правоте, доказать свое понимание истины, свой путь к ней…, на основе каких-то всем понятных примеров.

Потом эти вопросы, ответы, примеры, их порядок следования и  общий ход разговора были подвергнуты первичной формализации по мере повторения их применения. Они и стали основой доказательства своего понимания, своего мнения, суждения…

Из этого появились первые правила логического вывода.

Когда это было? Давно, тысячи лет назад.

И уж точно не во времена государств Древнего Мира. Раньше.

В древних Греции и Индии мы видим уже почти современный и понятный логический вывод истины, построенный на строгих доказательствах, накопленных за время их применения и фиксирования  полученных результатов.

В основу логического доказательства  были положены  приемы, применяемые в новой тогда науке – геометрии. Правда, тут возникла некоторая нестыковка. Геометрия основывалась на зримом доказательстве. По принципу: «Смотри!».  И сам все поймешь.

Геометры Древней Греции пользовались  очень хорошей практикой применения инструментов. В процессе доказательства геометрической теоремы могли применяться только линейка без делений и циркуль.   В качестве меры длины – раствор циркуля.

И потому, совершенно не важны были исходные  численные данные измерений, размер рисунка, место и время проведения доказательства…, главными были – линия и эталон - раствор ножек циркуля.  Только они определяли доказательство. Геометрическое доказательство строилось на наглядности и повторяемости. Всё на виду, смотри, строй, повторяй … и понимай.

В логике такой наглядности, конечно, нет. Но геометрический принцип доказательства прижился. Хотя бы формально. В приемах и формулировках.

Прием видимого доказательства заставил перейти к тому, что есть в геометрическом доказательстве: к зрительному сравнению, сопоставлению, поиску сходств и различий.

Сравнение существовало и отдельно, но вместе с геометрическим способом доказательства на основе видимости сравнения, это было новым приемом убеждения.

Это и стало основой появления логики, как науки о доказательстве.

Причем, именно применение очевидных способов доказательства, таких как прямое сравнение исследуемых понятий и геометрический способ описания результата сравнения  сделало логику основой всех других наук древнего мира.

Логика формировала правила доказательства истины  для всех. Или почти для всех…

Потому, что универсальность логического вывода надо было еще привязывать к конкретной науке, конкретному доказательству, примеру…

Философия требовала своих приемов вывода истины,  риторика – своих, естествознание – своих.  По этой причине все применяемые приемы логического вывода истины требовали осмысления, разбора на составляющие и последующей классификации. Собственно, именно это мы называем формализацией и обобщением конкретного в общем.

Логика стала находить общее и конкретику различий не только в других науках, но и в собственных наработках. И чем большее применение находили логические методы достижения истины в других науках, тем большее значение приобретала формализации собственных логических средств доказательства истины.

Уточнялись определения и однозначность понимания понятий и слов, внимательно оценивались все виды и способы логического доказательства. Формировалась строгая системы формулирования задач логики. И так же строго диктовалось применение того или иного пути к доказательству истины.

Здесь можно выделить:

·        Формализация конструкций логики слова.

·        Формализация системы понятий.

 

Теперь немного разберемся.

Логика слова, это логика понятий,  это логика высказываний и силлогизмов. Здесь основным в достижении истины были рациональность и разумность понимания. Здесь главным звеном логики было Слово. Вокруг Слова и крутилось всё понимание логики. Вокруг его Смысла и Понимания или Понятия.

Вот тут и возникли первые проблемы логики. Оказывается, слово можно было понимать по-разному. В прямом смысле его звучания, в переносном, в иносказательном…, пониманий смысла  вдруг стало много.  Надо было уточнять применение значений и смыслов в зависимости от ситуации.

Здесь логика практически смыкается с лексикой[1][1], лингвистикой[2][2] и семиотикой[3][3] в оценке слова.  В Википедии читаем:

 

Словарный состав языка — наиболее открытая и подвижная сфера языка. В него непрерывно входят новые слова и постепенно уходят старые. Нарастающая сфера человеческих знаний прежде всего закрепляется в словах и их значениях, благодаря чему лексических приобретений в языке становится все больше. Образование, наука, новейшие технологии, сведения из других культур — всё это формирует новый тип современного общества (информационное), в котором формируется новый языковой стиль — стиль эпохи информационного развития.

 

Скорее, просто – стиль эпохи…, так точнее.

В лексике, в словах и их значениях заложены основы появления софистики, как системы формализации понятий логики.

Да, это уже логика понятий. Логика добралась до глубин смыслового понимания. Каждое слово имеет смысл. А каждый смысл, это – понятие. Понятие имеет определение. Понятие может быть классифицировано и систематизировано.

И вдруг оказалось, что здесь логика слова и логика понятий разошлись в оценке. То слова почти одинаковые, а обозначаемые ими понятия различны, то наоборот,  слова разные, но понимание их смыслов почти одинаково.

С другой стороны, конструкции доказательств, построенные на понимании смысла в процессе доказательства, вдруг стали уводить в сторону, мимо цели достижения истины. В тупик бессмысленности.

Это происходило не только в софистике, это стало почти обычным явлением в философии. Надо было искать защиту от такого конфуза…

Может быть, надо внимательнее изучать науку, вникать во все её тонкости, сразу оценивать накопленный опыт учителей, использовать отработанные методы исследований…

Весьма ценно. Это всё просто необходимо применить, вот так, в полном объеме.

И опять следует формализация понятий и самого учения. Регламентируется и способ изучения, и объем. Возникает новый метод познания – схоластика. Соединение веры и науки. Высокой специализации и глубины погружения в изучаемый предмет.

Это новый этап формализации логики. Её систематизации и классификации, как изучаемого предмета. И мощное развитие философии.

Но тут смыслы слов стали противоречить развитию их философских понятий. Теперь уже философия стала диктовать логичность доказательства. Логика потеряла строгость обоснования. Тупик …

И как всегда, защита была найдена в применении последнего аргумента человека – Разума. Как и в борьбе с софистикой, разум стал определять действенность  пути  и смысла доказательства истины.  Казалось, такая формализация понимания логичности доказательства на основе Разума решает все проблемы и на все времена.

Еще немного, ещё чуть-чуть подробнее классифицируем, точнее систематизируем, уточним определения… и логика понятий будет главной в доказательстве  истины.

Не получилось. Подвела, как раз, разумность доказательства. Она не укладывалась в формальный путь геометрического способа изложения. Желание единственности понимания стала противоречить разумной и философской многозначности слова, понятия, действия.

На этом этапе снова  вспомнили о формальной системе логики.

Формальность должна быть во всем. В системе записи, в системе понимания, в системе получения результата. Всё это просто обязано было стать формальным.

Может быть и безобразным, но единообразным…

Это оборотная сторона формальности и формалистики. Ни о каком смысле, этичности  или разумности  решения конкретной  логической задачи тут уже речи нет.

Нужна система формальностей. Система абстрагирования от конкретики понимания, система перехода на общие, понимаемые всеми, но совершенно абстрактные  правила  формальной логики.

Аналог для копирования все тот же – математика. Точнее, теперь это символическая алгебра. Абстрактная, лишенная любой связи с конкретикой, полностью формулируемая средствами математики, вот такая нужна была новая логика.

Математическая логика.

Буквы и знаки математических действий. Только вот такая, формальная, математическая  по своим принципам, логика была способна стать не только средством фиксации  уже достигнутого результата, как в силлогизме, но и стать средством достижения этого результата.

Точно так же, как мы двигаемся к ответу при решении математической задачи. От действия к действию, от операции к операции, последовательно идти к пока неизвестному результату решения поставленной перед нами задачи.

 Способ известен, надо создать такую логику…

И такая логика была создана. Новая это логика? Нет, конечно. 

Это последовательное движение логики на пути формализации.

Причины формализации понятны. Теперь обо всем по порядку…

 

 

Формализация логики слова

Мы посмотрели сегодняшнее состояние формальной логики [8,9].

Вся предыдущая история развития логики шла в направлении понимания вербальных конструкций, определяемых  словом [22-26].

Рассуждения, умозаключения, высказывания, суждения, понятия….  

Даже простое понимание смысла этих слов уже говорит о направлении логической мысли. Появился силлогизм, фиксирующий исходные посылки и конечный вывод.

Учение о силлогизме впервые изложено у Аристотеля[4][4] в его «Первой аналитике».

 Читаем здесь:

 

Детально и глубоко разобрав теорию познания, Аристотель создал труд по логике, который сохраняет своё непреходящее значение и поныне. Здесь он разработал теорию мышления и его формы, понятия, суждения и умозаключения.

Аристотель является и основоположником логики.

Задача понятия состоит в восхождении от простого чувственного восприятия к вершинам абстракции. Научное знание есть знание наиболее достоверное, логически доказуемое и необходимое.

В учении о познании и его видах Аристотель различал «диалектическое» и «аподиктическое» познание. Область первого — «мнение», получаемое из опыта, второго — достоверное знание. Хотя мнение и может получить весьма высокую степень вероятности по своему содержанию, опыт не является, по Аристотелю, последней инстанцией достоверности знания, ибо высшие принципы знания созерцаются умом непосредственно.

 …Цель науки Аристотель видел в полном определении предмета, достигаемом только путем соединения дедукции и индукции:

1) знание о каждом отдельном свойстве должно быть приобретено из опыта;

2) убеждение в том, что это свойство — существенное, должно быть доказано умозаключением особой логической формы — категорическим силлогизмом.

Исследование категорического силлогизма, осуществленное Аристотелем в «Аналитике», стало наряду с учением о доказательстве центральной частью его логического учения.

Основной принцип силлогизма выражает связь между родом, видом и единичной вещью. Эти три термина понимались Аристотелем как отражение связи между следствием, причиной и носителем причины.

Система научных знаний не может быть сведена к единой системе понятий, ибо не существует такого понятия, которое могло бы быть предикатом всех других понятий: поэтому для Аристотеля оказалось необходимым указать все высшие роды, а именно категории, к которым сводятся остальные роды сущего.

Размышляя над категориями и оперируя ими в анализе философских проблем, Аристотель рассматривал и операции ума и его логику, и, в том числе, логику высказываний. Разрабатывал Аристотель и проблемы диалога, углубившие идеи Сократа.

Он сформулировал логические законы:

·        закон тождества — понятие должно употребляться в одном и том же значении в ходе рассуждений;

·        закон противоречия — «не противоречь сам себе»;

·        закон исключенного третьего — «А или не-А истинно, третьего не дано».

Аристотель разрабатывал учение о силлогизмах, в котором рассматриваются всевозможные виды умозаключений в процессе рассуждений.

 

Хотя, надо отметить, что, конечно же, логика появилась задолго до Аристотеля. Как мы знаем, в Древней Греции логика сформировалась  на основе геометрического понимания доказательства и формы изложения мысли, принятой в философии. [8] Это было необходимо для ведения спора, в том числе и научного, в рамках установленных правил.

Как формальная конструкция классической формальной логики, силлогизм, очень быстро вывел на другие направления формализации. Собственно, это всего лишь путь изучения составляющих частей  силлогизма.  Его посылки, это суждения. А суждения состоят из  понятий. В момент начала изучения понятий под этим понималось  слово.

Таким образом, логика в своей формализации и структурировании добралась до основы языка – слова. Вся цепочка связей логики была пройдена от начала -  рассуждения, и до самого конца – слова, из которых и состоит это рассуждение. 

В этом смысле, путь логики слова пройден полностью…

 

Софистика.

Софистика[5][5], это первая система изменения формализации понятий логики.

 Читаем в словаре о причинах, условиях и целях появления софистики.

Условия в Древней Греции второй половины V в. до н. э. (потребность широкого просвещения):

 

·        Успешное завершение греко-персидских войн

·        Бурное развитие политической активности населения

·        Востребованность социального и гуманитарного знания

·        Интерес к развитию навыков мыслить, говорить и убеждать

 

Греческие цели просвещения:

 

·        Обладание добродетелью, а не физической силой — главное условие успешной социальной жизни

·        Социальная жизнь — совершенствование в добродетелях

 

Формы просвещения:

 

·        Появление платных учителей добродетели

·        Развитие риторики, грамматики, логики, судебного красноречия

 

Примерные правила софистики:

 

·        Человек живет по иным законам, чем все остальные существа. Поэтому учения первых философов малопригодны для успешной жизни в обществе.

·        Следует принципиально различать «физис» — совокупность законов природы и «номос» — совокупность законов общества. Законы природы объективны, необходимы и обязательны для всех. Их невозможно отменить или заменить, ибо они касаются всех материальных объектов.

·        Главный закон природы — выживает наиболее приспособленный или сильнейший в своем биологическом виде. Объективных и обязательных законов в человеческом обществе не существует.

·        Законы общества устанавливаются людьми, всегда относительны, условны, конвенциональны, заменяемы и отменяемы, так как относятся только к добродетелям граждан.

·        Главный закон общества — процветает гражданин, наиболее успешный в своей добродетели.

·        Добродетель — главное условие социального процветания.

·        Социальная жизнь — совершенствование не в физической силе, а в добродетелях.

·        Социальный закон — правило, определяющее добродетель.

·        Добродетель — не дар природы, не врожденная способность, не случайное приобретение, а результат целенаправленного образования и воспитания.

·        Мысли, слова и действия сами по себе не находятся в необходимой связи друг с другом. Для приведения их в нужное соответствие требуется специальная деятельность ума и языка.

·        Успешная жизнь состоит в том, чтобы жить согласно главным добродетелям — знанию, удовольствию, выгоде и чести.

 

Ну и чем же плохи аксиомы софистики?

Видимо, вопрос только в том, как их применять…

К возникновению учения софистики привели вполне понятные и очень объективные причины. Софистика и просуществовала достаточно долго. Здесь читаем:

 

В широком смысле принято говорить о трех эпохах софистики:

·        Классическая или древняя софистика (V — 1-я половина IV веков до н. э.).

·        Вторая или новая софистика (2 — нач. 3 в. н. э.). Основные представители — Лукиан Самосатский, Флавий Филострат и другие.

·        Третья или поздняя софистика (4 в. н. э.). Основные представители — Либаний, Юлиан Отступник.

Вторая и третья софистики назывались лишь по аналогии с классической софистикой и представляли собой подражательные литературные течения, стремившиеся реставрировать идеи и стиль классических софистов.

 

Простой расчет показывает, что, так или иначе, а софистика, как направление развития логики просуществовало  чуть менее 1000 лет, есть, о чем задуматься. Тем не менее, сегодня понимание софистики несколько изменилось, и не в лучшую сторону:

 

Софистика (от греч. «софос» — мудрый) — обобщенное название взглядов греческих просветителей на различные проблемы социальной жизни, деятельность первых платных учителей добродетели, получившая в городах Древней Греции в середине V в. до н. э. широкое распространение. Данный термин имеет и более узкое значение — как совокупность нечестных, логически некорректных приемов, позволяющих выигрывать споры.

Софи́зм (от греч. σόφισμα, «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка, мудрость») — ложное умозаключение, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики. Это отличает его от паралогизма и апории, которые могут содержать непреднамеренную ошибку либо вообще не иметь логических ошибок, но приводить к явно неверному выводу.

 

Сократ[6][6] был против софистики и стал разрабатывать свою логику и свою философию.

Так трактуют учение Сократа одни ученые. Другие с полной уверенностью относят его к софистам. Как нам понимать вклад Сократа в логику?

Вот интересное высказывание:

 

Используя метод диалектических споров, Сократ пытался восстановить через свою философию авторитет знания, поколебленный софистами. Софисты пренебрегали истиной, а Сократ сделал её своей возлюбленной.

 

Какое искреннее и безоговорочное преклонение…, но давайте вдумаемся в смысл сказанного. И прочитаем далее:

 

«…Сократ исследовал нравственные добродетели и первый пытался давать их общие определения (ведь из рассуждавших о природе только Демокрит немного касался этого и некоторым образом дал определения теплого и холодного; а пифагорейцы — раньше его — делали это для немногого, определения чего они сводили к числам, указывая, например, что такое удобный случай, или справедливость, или супружество). …Две вещи можно по справедливости приписывать Сократу — доказательства через наведение и общие определения: и то и другое касается начала знания», — писал Аристотель («Метафизика», XIII, 4).

 

Лукавит Аристотель….  

Он приписывает Сократу  применение формальных методов логического анализа, уже примененных ранее софистами как раз для того же самого, для формального понимания.

Понятно, что вопрос не в том, являлся ли Сократ  софистом или нет, а  в том, что он применил приемы софистики в своих разработках.  Да, применил. И мы видим философское осмысление и развитие уже проведенной формализации.  Того самого софизма

В Википедии  мы находим такой пример:

 

Платон сформулировал одно из первых определений сущности человека:

Человек - существо бескрылое, двуногое, с плоскими ногтями, восприимчивое к знанию, основанному на рассуждениях[19]

… Существует легенда, согласно которой Диоген Синопский на определение Платона «Человек есть животное о двух ногах, лишённое перьев», ощипал курицу и принес к нему в школу, объявив: «Вот платоновский человек!» На что Платон к своему определению вынужден был добавить «…и с широкими ногтями»[20].

 

Напомним, Платон[7][7] – ученик Сократа, восставшего против софистики.

Аристотель – ученик Платона.

Видимо, очень сложно отделить разумное и логичное умозаключение от софизма.  Граница между ними уж очень прозрачная.

Потому, что определение понятия, даже теоретически, никогда не может быть абсолютно полным и отражать всю реальность определяемого понятия. Любое определение понятия ограничено. А софизм и возникает при любом ограничении определения понятия по отношению к реальности.

Потому, любое определение в той или иной степени порождает софизм.

Пример с определением сущности человека Платоном это и показывает.

Напомню, мы не говорим о философских воззрениях софизма. Это отдельная тема. Сейчас нас интересует только его логическая сторона.

Аристотель, кстати, как и софисты, применил в философии логические методы понимания.  Но, видимо, применение должно было стать обоснованным, всесторонне разработанным и доказательным. Только в этом случае уже примененный когда-то ранее  метод формализации становится  известен как  новое понимание, и рассматривается как открытие. Вот, примерно так:

 

Аристотель разработал иерархическую систему категорий, в которой основной была «сущность», или «субстанция», а остальные считались её признаками. Он создал классификацию свойств бытия, всесторонне определяющих субъект — 9 предикатов.

На первом месте стоит категория сущности с выделением первой сущности — индивидуального бытия, и второй сущности — бытия видов и родов. Другие категории раскрывают свойства и состояния бытия: количество, качество, отношение, место, время, обладание, положение, действие, страдание.

 

Это о чем? О философии или о логической операции классификации [8]?

Аристотель так и подошел к философии. Он применил формализацию понимания логического вывода. Как софист. Уточнил форму. Ограничил суть понятия до формального.

На этой формальной основе он стал развивать новое понимание смысла изучаемого понятия. И построил  новую классификацию.

Это и признано открытием.

А мы ругаем это достижение формализации - софизм, на основе которого строится новая смысловая конструкция логического вывода. Почему?

Софизм неприемлем с точки зрения философии, но не логики. Для логики это огромный шаг вперед, в сторону формализации сравнения понятий.

Софистика, это обратная сторона полноты исходных определений посылок. Она скорее показывает возможные смысловые конструкции, в том числе и ложные, чем действительно является соперницей здравому смыслу и разуму.

Но и сейчас, и тогда, почему-то только философия определяла понимание и справедливость оценки, к сожалению, а навешивать ярлыки мы всегда умели.

 

Схоластика.

Как утверждают ученые логики,  схоластическая[8][8]  логика порвала связь с теорией познания и превратила логику в чисто формальное учение.  Образцовым руководством логики в средние века было сочинение Марциана Капеллы[9][9].  И Боэций[10][10] придал логическим учениям чисто формальный характер. Попробуем разобраться.

Схоластика, это:

 

Слово «схоластика» происходит от лат. schola (греч. σχολή) или, ближе, от производного «Scholasticus» — школьный, учебный. Этим именем обычно обозначается философия, преподававшаяся в школах средних веков.

… Слово «схоластика» (а также и «схоластик») не имело первоначально такого укоризненного смысла, с каким оно стало употребляться в новые времена, когда схоластическая или средневековая философия начала подвергаться нападкам со стороны представителей нового умственного движения. Так, например, Цицерона многие римляне называли схоластиком, после того как он стал изучать греческую философию, но этим названием хотели обозначить только теоретика, забывающего важность практики и практического образования. Теперь слово «Схоластика» применяется не только к средневековой философии, но и ко всему, что в современном образовании и в учёных рассуждениях хотя бы отчасти напоминает по содержанию и форме схоластицизм — и применяется обычно как отрицательный эпитет.

 

Средневековые схоласты сделали то же самое, что и софисты,  но, через тысячу лет. Они формализовали определение понятия до простейшего, понятного всем. И уже на этом формальном понятии  строили догму своего учения

 

Философствование схоластиков строилось на почве установленного учения церкви и тех учений античной философии, которые сохранились до средних веков.

…Взгляд на философию как на служанку богословия хотя и не проводился строго всеми схоластиками, однако выражал, можно сказать, господствующую тенденцию времени.

…В познании нужно различать содержание его и деятельность. У схоластиков это различие стояло твёрдо потому, что аналогию ему они находили в вере, где различается объективная сторона (лат. fides quae creditur) и субъективная (лат. fides qua creditur). Содержание христианской веры неизменно, тогда как акт веры и способы восприятия её содержания изменяются согласно разнообразию верующих. Писание называет содержание веры субстанцией (ὑπόστασις, Евр. XI, 1), и это определение оказалось плодотворным для схоластического учения о науке.

 

Именно такой формальный, догматический подход к пониманию сложных понятий позволил схоластике, как методу изучения и понимания, просуществовать  тысячу лет. И неплохо себя при этом чувствовать. Вот, например, такое, очень красивое рассуждение:

 

Познаваемое есть истинное, истинное есть благо. Науки суть искусства в широком смысле, а всякое искусство направляется на благо; содержание науки составляет bonum intellectus. Науки суть блага; обладание ими обязывает делиться ими. Добродетель — в том, чтобы подать алчущему хлеб, а незнающего научить словом мудрости. Учить и учиться — нравственная деятельность. Научиться можно на почве уже ранее имевшегося знания; отсюда требование от преподавателя — идти от лёгкого к более трудному. Искусство научения должно держаться природы, как и всякое искусство; науки должны изучаться по тому методу, каким они изобретены, то есть по методу естественному. Отношение к мудрости даёт науке у схоластиков единство, которое вместе с тем расчленено в себе. Система наук имеет иерархический строй; высшее определяет и освещает низшее, члены суть вместе и ступени. Этот строй яснее всего представил Бонавентура в своём кратком, но глубокомысленном сочинении «De reductione artium ad theologiam».

 

Бонавентура[11][11], … мы запомним это имя.

О логике  в схоластике читаем:

 

Понятно, что при такой скудости основных предварительных сведений развитие философии в схоластике начинается своеобразно: почти до XIII века логика, или диалектика, выполняет роль метафизики. Перед началом схоластики диалектика занимала среди семи преподававшихся в школе предметов второстепенное место, как знание, подготовительное к другим, имеющее дело более со словами, чем с вещами; с возникновения схоластики она заняла первое место. Из-за неё стали пренебрегать всеми прочими «свободными искусствами», в ней искали принципов для последних. Причина этому заключалась в том, что за отсутствием какой-либо метафизики научное решение метафизических вопросов стали искать в области известных в то время семи школьных наук, и здесь естественно должны были остановиться на логике, или диалектике, как науке характера философского; из неё и стали извлекать метафизические принципы.

Так расширилась область этой науки, которая сначала имела дело только с определением слов, а потом захватила решение всех метафизических вопросов и стала наукой наук и искусством искусств. Исходя из той мысли, что всякое положение, построенное по логическим правилам, истинно, при этом превращении диалектики в метафизику обыкновенно и поступали так, что под словами разумели вещи, а простые догадки возводили на степень непоколебимых истин. Вследствие этого имя «логика» в смысле «философа» распространялось до конца XII век на всех последователей Платона и Аристотеля. В XIII век, когда стала известна метафизика Аристотеля, Альберт Великий снова восстановил древнее различие между диалектикой и метафизикой: если за диалектикой ещё оставлено на догадках построяемое решение онтологических вопросов, то все же она считалась наукой только подготовительною к познанию истины. Такого же взгляда держались Фома Аквинат[12][12] и его последователи.

Дунс Скотт[13][13] в конце XIII век снова отверг это различие и возвратил логике несвойственные ей права. До конца XII век дело философствования обыкновенно ставилось так, что задавали некоторые вопросы, на которые, по-видимому, должна дать решительный ответ логика — и тотчас же, без колебаний, спешили изложить все пункты и все детали своего учения, на почве именно логических спекуляций. В видах дидактических излагаемое группировалось около одной главной проблемы. Такая проблема, если не заключающая в себе все остальные, то касающаяся их, была дана схоластике в виде проблемы об универсалиях, или общих понятиях. Эта трудная проблема преподносилась ещё уму Аристотеля.

 

Сложное превращение философии в логику и обратно…

Тем не менее, как метод познания, схоластика требовала выполнения обязательных требований. Они включали:

 

·        Составление «Сумм» — всеобъемлющих компендиумов по тому или иному вопросу.

·        Доскональное изучение поставленного вопроса со скрупулёзным рассмотрением всех возможных случаев и опровержением неортодоксальных воззрений.

·        Высокая культура цитирования.

 

Конечно, схоластика представляла собой религиозную философию.

В ней главным было:

 

·         Вера и знание

·        Доказательство бытия Бога

·        Общее и единичное (проблема универсалий)

 

Схоластика, как основной метод познания просуществовала более 1000 лет. За это время она пережила разные периоды своего развития. Были и взлеты, и падения.  Но уже сам факт её столь продолжительного существования доказывает объективную необходимость такого подхода к знаниям в определенные периоды нашей истории.  

***

Сделаем краткий вывод.

Софистика и схоластика представляли собой движение логики в сторону формализации.

Софистика открыла нам путь к формализации понятий  в виде слов. Слово могло и часто определяло путь формального логического обоснования вывода в софистике, и часто в противовес смыслу.  Что иногда противоречило и разумному, и философскому пониманию. Правда, мы почему-то упускаем, что разговор чаще всего идет о споре, в котором надо выиграть. Вот ради выигрыша в логическом споре и возникали логические модели софизмов. Но мы знаем, что точно такие же, остроумные софизмы составляют основу шуток и анекдотов.  Собственно, часто для этих целей они и придумывались…

Схоластика сделала упор на формализации философского понимания в логическом упрощении исходных понятий изучаемых предметов. На основе все той же четкой логической классификации.

С другой стороны, формализация понятия позволила выделить самодостаточность получения знаний, как процесса познания. Логические операции позволили соединить науку и религию в единое целое – теологию. 

Но, как всегда и происходит в процессе развития, софистика и схоластика, только появившись, очень быстро стали ощущать себя самодостаточными и самостоятельными науками. Софистика стала часто замыкаться на игре словами вместо доказательного обоснования логического вывода. Схоластика стала диктовать поиск чистого смысла там, где его могло и не быть. Например, за пределами объективности разумного понимания …

Мы это знаем, и эта сторона развития логики и философии нам также хорошо известна, как и развитие смыслового понимания. Нас же, сейчас интересует  только сама формализация. Как раз то, что в истории логики сегодня написано только в негативном понимании.

 

«Знание — сила»

«Знание — сила» ( Scientia potentia est), это слова Френсиса Бэкона[14][14].

Это уже 17-й век.  Мы не говорим, что Бекон первый, кто осознал пагубность схоластики, возведенной в догму.  Нет, скорее всего, он был не первый.

Но он первым заявил о другом методе познания.

Исследовательский метод, разработанный Фрэнсисом Бэконом — ранний предшественник научного метода. Метод был предложен в сочинении Бэкона «Новый Органон» и был предназначен для замены методов, которые были предложены в сочинении «Органон» Аристотеля более чем 2 тысячелетия назад.

В основе научного познания, согласно Бэкону, должны лежать индукция и эксперимент. Читаем здесь:

 

Указывая на плачевное состояние науки, Бэкон говорил, что до сих пор открытия делались случайно, не методически. Их было бы гораздо больше, если бы исследователи были вооружены правильным методом. Метод — это путь, главное средство исследования. Даже хромой, идущий по дороге, обгонит нормального человека, бегущего по бездорожью.

Индукция может быть полной (совершенной) и неполной.

Полная индукция означает регулярную повторяемость и исчерпаемость какого-либо свойства предмета в рассматриваемом опыте. Индуктивные обобщения исходят из предположения, что именно так будет обстоять дело во всех сходных случаях. В этом саду вся сирень белая — вывод из ежегодных наблюдений в период её цветения.

Неполная индукция включает обобщения, сделанные на основе исследования не всех случаев, а только некоторых (заключение по аналогии), потому что, как правило, число всех случаев практически необозримо, а теоретически доказать их бесконечное число невозможно: все лебеди белы для нас достоверно, пока не увидим чёрную особь. Это заключение всегда носит вероятностный характер.

Пытаясь создать «истинную индукцию», Бэкон искал не только факты, подтверждающие определенный вывод, но и факты, опровергающие его. Он, таким образом, вооружил естествознание двумя средствами исследования: перечислением и исключением. Причем главное значение имеют именно исключения. С помощью своего метода он, например, установил, что «формой» теплоты является движение мельчайших частиц тела.

Итак, в своей теории познания Бэкон неукоснительно проводил мысль о том, что истинное знание вытекает из чувственного опыта. Такая философская позиция называется эмпиризмом. Бэкон и был не только его основоположником, но и самым последовательным эмпириком.

 

В основу познания был положен опыт. Развитие науки должно подтверждаться опытом, повторяемым опытом, опытом обобщения.   А в основу логики  положена  индукция. Как раз то, что всё время «витало в воздухе» при логическом доказательстве, но каждый  раз аккуратно выводилось за рамки научного метода.

И, очень скоро индукция опять уйдет в тень…

Кстати, сегодня индукция так и не входит в официальный арсенал математической логики и программирования.  И неважно, что знаем и пользуемся.

 

Трансцендентальная логика Канта

Основателем немецкой классической философии [15][15] стал  Иммануил Кант[16][16].

Вот об этом:

 

Основанием немецкой классической философии послужили работы Иммануила Канта в 1780-е и 1790-е годы. Это философское направление было тесно связано с романтизмом и революционно настроенными политиками эпохи Просвещения.

… В европейской же литературе принято выделять неме́цкий класси́ческий идеали́зм или немецкий идеализм (нем. Deutscher Idealismus):

·        критический идеализм Канта,

·        субъективный идеализм Фихте,

·        объективный идеализм Шеллинга и

·        абсолютный идеализм Гегеля[1].

 

Там же:

 

Немецкий идеализм впервые поставил вопрос о сущности знания: «Что есть знание?». Для Канта этот вопрос сводится к вопросу о возможности чистой математики и чистого естествознания (см. Критика чистого разума). В его формулировке этот вопрос о знании сводится к вопросу о возможности синтетических суждений априори. Для Фихте вопрос о знании становится также вопросом о сущности человека. Если субъект является необходимым условием существования мира, то знание становится способом его конституирования. Шеллинг возвращает вопросу о знании его объективную составляющую, рассматривая знание как результат развития самой природы. Гегель синтезирует вопрос о знании в положении: «Истинной формой истины является система знания». Для Фейербаха вопрос о сущности знания на фоне грандиозного успеха науки и техники становится уже несущественным, что свидетельствует о том, что возможность знания перестала быть проблемой.

 

Но, ближе к теме.

 

Таким образом, по Канту, у познания имеются два источника: эмпирический и априорный.

Априорная сторона познания формулируется Кантом, следующим образом: "Все теоретические науки, основанные на разуме, содержат априорные синтетические суждения как принципы". Под синтетическими суждениями Кант понимал такие суждения, где связь предиката и субъекта мыслится без тождества.

Синтетические суждения отличаются от аналитических тем, что в последних эта связь мыслится через тождество. Эти выражения означают, что в аналитических суждениях предикат лишь поясняет содержание субъекта, а в синтетических суждениях он дает новые характеристики субъекту. И Кант ставил гносеологический вопрос: "Как возможны априорные синтетические суждения?"

Этому Кант посвятил свою "Критику чистого разума". Первая часть "Критики..." подразделяется у Канта на два раздела: на "трансцендентальную эстетику", т.е. учение о чувственности, и на "трансцендентальную логику", т.е. учение об интеллекте. Таким образом. Кант разграничивает чувственное и рациональное, чувственность и интеллект как два основных ствола человеческого познания.

 

И там же:

 

"Трансцендентальной логикой" Кант называет такую логику, которая имеет дело с законами рассудка и разума, которые не отвлекаются от какого-либо содержания и определяют происхождение, объем и объективную значимость априорных знаний. Трансцендентальную логику Кант противопоставлял "общей", т.е. формальной, которая отвлекается от содержания познания. Содержательность трансцендентальной логики дает связь познающего мышления с чувственными представлениями, т.е. с созерцаниями. Лишь из соединения чувственности и рассудка, говорит он, может возникнуть знание. "Мысли без содержания пусты, а созерцания без понятий слепы". Рассудок обладает, по Канту, активностью, а чувственность - пассивностью. При переходе от чувственности к рассудку происходит скачок качественного плана.

В "трансцендентальной логике" Кант выделяет учение о рассудочном знании, которое он называет трансцендентальной аналитикой, и учение о разумном знании, которое называет трансцендентальной диалектикой. Трансцендентальная аналитика подразделяется у него на аналитику понятий и аналитику основоположений.

Под аналитикой понятий он разумеет отыскание априорных понятий в рассудке и анализ чистого применения рассудка. Для него понятия - это предикаты возможных суждений. Эти понятия он называет категориями. Суждения разделяются на четыре группы: количества, качества, отношения, модальности. Эти группы в свою очередь подразделяются на три вида каждая. Категории у Канта также образуют четыре группы, имеющие те же названия, но другие подразделения.

 

Да, мы видим резкое усиление функциональной формализации логики.

Это касается суждения. Его Кант ставит в основу формализации.

Фактически Кант создал функциональную логику суждений, развивающую уже существовавшую логику понятий. Получает развитие и древняя диалектика.

Но мы должны четко понимать, что формализацией логики в данном случае занимается философ, с соответствующим складом ума. И философским подходом.

Справедливости ради надо отметить, что это направление формализации логики в основном и развивалось философами для нужд философии. Конечно, это наложило и соответствующий отпечаток на весь ход этой формализации.

 

Спекулятивная логика Гегеля.

 Георг Вильгельм Фридрих Гегель[17][17] тоже критиковал формальную логику. 

Об этом в Википедии:

 

Формальная логика Аристотеля несостоятельна (более того, сам Аристотель в своих собственно философских исследованиях не пользовался ни формами рассудочного умозаключения, ни вообще формами конечного мышления — «Малая наука логики», § 183). Вместо неё Гегель предлагает т. н. спекулятивную логику, включающую в себя диалектику — науку о развитии. Последнее, согласно ей, проходит три стадии: тезис — антитезис — синтез (непосредственное тождество — противоположность, отрицание — разрешение противоречия, основание, опосредственное тождество). Античность — тезис. Средневековье — это антитезис, поскольку оно отрицает Античность. Новое время — синтез Античности и Средневековья.

 

Зафиксируем  результат:

 

Таким образом, к началу XVIII века были сформулированы четыре закона логики: закон тождества, закон противоречия, закон исключенного третьего и закон достаточного обоснования. Эта логика называлась формальной или понятийной, в отличие от математической, поскольку имела дело не с математическими объектами, а с понятиями, отражающими объекты реального мира. Проблема формальной логики заключалась , однако, в том, что эта логика уходила своими корнями в аристотелевское понимание мира, в рамках которого все существующее мыслилось как состоящее из материи и формы. Но последняя точка зрения была эксплицитно отвергнута Декартом. Поэтому, несмотря на успех, которым формальная логика, усовершенствованная Лейбницем, еще пользовалась в XVIII веке, дни ее были сочтены, и когда в начале XIX века немецкий философ Георг Фридрих Гегель /1770 - 1831/ подверг уничтожающей критике формальную логику, это было лишь закономерным итогом отказа от аристотелевских воззрений на устройство мира…

 

Сам Гегель при этом считал [41]:

 

«Логическое по своей форме имеет три стороны: а) абстрактную, или рассудочную; в) диалектическую, или отрицательно-разумную; с) спекулятивную, или положительно-разумную. Эти три стороны не составляют трех частей логики, а суть моменты всякого логически реального, т.е. всякого понятия или всего истинного вообще» (8, т. 1, с. 201-202).

 

Так появилась еще одна логика:

 

Гегелю оставалось лишь обобщить давно сформулированный физиками принцип относительности на все явления как материального, так и духовного мира. … создать собственную логику, которая впоследствии получила название “диалектической”. В основу этой новой логики были положены три закона диалектики. Первый закон диалектики называется законом единства и борьбы противоположностей. …

Второй закон диалектики называется законом перехода количества в качество.

Наконец, Гегель сформулировал третий закон диалектики, получивший название “закон отрицания отрицания”; согласно этому закону, всякое развитие в живой и неживой природе осуществляется по спирали.

… Торжество гегелевской диалектики было, впрочем, весьма непродолжительным. Открытия Менделя указали на неприменимость законов диалектики в биологии. Что касается магнита, то теория электромагнитного поля, созданная Фарадеем и Максвеллом исключала “единство и борьбу северного и южного полюсов магнита”. В химии элементы таблицы Менделеева служили прекрасной иллюстрацией справедливости аристотелевского закона тождества. Наконец, с непрерывностью движения, в чем Гегель усматривал нарушение закона исключенного третьего, тоже не все обстояло благополучно. Это поняли после того, как Макс Планк сделал вывод, что “природа делает скачки”, отказавшись таким образом от принципа непрерывности.

 

Диалектическая логика[18][18].  Правда, исходя из приведенных аргументов, диалектическую логику Гегеля уже надо обратно закрывать. Она не работает.

И, тем не менее, законы диалектики мы изучаем, как философские. Хоть это и логика, а не философия, между прочим.  Диалектика[19][19]  и сегодня стоит в основе современной философии.

С точки зрения рассмотрения процесса формализации логики можно отметить, что  «спекулятивная логика» Гегеля является огромным шагом в сторону формализации логики понятий, начатой в софистике и схоластике. Логика стала развиваться в сторону применения научного метода познания.

К этому времени логика получила почти все, что мы знаем  в ней сегодня. Дальнейшее развитие логика слова получила уже при развитии понимания языка. [8,9]

***

Где-то здесь мы видим почти завершенную картинку формализации философского направления  логики. Той самой формальной логики, которая постепенно формировалась из правил спора и геометрического способа  формирования доказательства. Включая  и доказательство  «от противного»…

Древние законы логики постепенно дополнялись, теория силлогизма была усилена теорией суждений. Логика слова постепенно дополнилась логикой понятий и логикой суждений.

Диалектика стала основой философского анализа.  Мало того, философия всегда считала логику инструментом философии. Своим инструментом. Эффективным оружием достижения цели.  И философы вполне справедливо считали, что логика может стать настоящим бриллиантом в короне средств философского анализа только после «правильной огранки» - дополнения формальной логики хорошей философской идеологией. 

Вот по этой причине почти все ведущие философы всех времен в той или иной степени  занимались логикой, считая это необходимой ступенью развития их философской доктрины.  Они вносили свой вклад в становление логики, внося в неё свои структурные и системные изменения на основе своей философской теории. В результате этих изменений  формализация логических действий и понятий только усиливалась.

Это было следствием усиления систематизации. 

С другой стороны, уточнение системы понятий формальной логики со стороны философии, с её изменяющимися теориями и учениями, приводило к постоянному возникновению новых направлений развития логики. Новых философских логик, структурирующих и формализующих новое философское направление. А вместе с ним и логику, как систему.  Это мы с вами только что и посмотрели.

Логика сформировалась как наука о «правильном мышлении», т.е. мышлении «по правилам».

Примененные еще в древние времена геометрические правила построения доказательства показали объективность абстрактной математики в оценке результата решения, как способа установления истины.

Философия, конечно же, должна была использовать  этот метод. И она его использовала.  Как способ достижения объективной истины в философском построении.

Но одновременно с этим направлением активно развивалась и формализация логики, уже только на основе аксиом математики. Вот об этом  мы и продолжим далее…

 

 

История математизации логики.

Математические методы обоснования применялись еще в древности, с этого началась логика. С геометрии. С геометрических методов доказательства, применяемых в Древней Греции. Так говорит классическая версия возникновения логики. В логику были включены уже отработанные методы доказательства геометрических теорем, составлявших основу математики того времени.

Еще более активно математика стала применяться в логике в средние века. В логику пришли многие аксиомы математики, латинский алфавит, алгебра и отрицательные числа. Далее применение в логике математических методов доказательства только возрастало.

В конце 19 века, когда впереди уже замаячили контуры логических машин для Машинного Разума, математика просто создала новую логику. Математическую. Эту логику мы знаем, как булеву алгебру и алгебру предикатов. Для понимания можно заглянуть в  учебник [10]. Эта логика того заслуживает.

За основу этой логики были взяты логические операции из логики суждений. Этим логическим операциям были сопоставлены математические аналоги. Так операция конъюнкции (логическое  И) была названа логическим умножением.  Операция дизъюнкции (логическое ИЛИ) получила название логического сложения. Логическое отрицание было приравнено к математическому  получению отрицательного числа, умножением на (-1). Техническое название этой операции – инверсия, закрепилось в литературе по математической логике. 

Сложнее оказалось с импликацией, она так и не нашла достойного применения в математической логике.  Но всё же, схемы реализации есть … 

Чуть позже название «операция» ушло из работ по математической логике, а вместо них появилось другое название – логическая функция.   Напомню, функция отличается от логической операции отсутствием фиксации результата. Например, функция  (а˅b) стала важна сама по себе, а не в виде результата её применения. Функция преобразуется, меняются местами элементы, а результат … он же мгновенный … и зависит от исходных функциональных составляющих а и b, его мы не рассматриваем, какой получится.

В общем - верно, а в частности? По таблице…

Таким образом, из рассмотрения выпал результат выполнения операции. Функциональная зависимость логических функций стала определяться табличным методом. 

Закон исключения третьего, закон двойного отрицания, это же математические законы. К логике они относятся только косвенно. Но именно на них сделана ставка в определении той или иной логики.

Вроде бы всё хорошо. В логику слова пришла математика. Она объективна и рациональна. Математика создала математическую логику. С этой логикой заработал компьютер.  Уже одно это достойно уважения.

Пожалуй, это главный поворотный момент развития понимания принципов искусственного интеллекта, закладываемых в наши машины. Математика в логике.

Вот здесь попробуем разобраться в том, каким образом логика, основанная на понятии языка и слова, стала понятием математическим. 

Как математика пришла в логику?

 

Символическая алгебра Виета.

Мы начнем  с трудов Франсуа Виета[20][20].

О нем написано много, но мы ограничимся только  некоторыми фактами.

Вот, например:

 

Когда в результате придворных интриг Виет был на несколько лет устранён от дел (15841588), он полностью посвятил себя математике. Изучил труды классиков (Кардано, Бомбелли, Стевина и др.). Итогом его размышлений стали несколько трудов, в которых Виет предложил новый язык «общей арифметики» — символический язык алгебры.

… Виет чётко представлял себе конечную цель — разработку нового языка, своего рода обобщённой арифметики, которая даст возможность проводить математические исследования с недостижимыми ранее глубиной и общностью:

«Все математики знали, что под их алгеброй… были скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти; задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко решаются десятками с помощью нашего искусства, представляющего поэтому самый верный путь для математических изысканий».

…Новая система позволила просто, ясно и компактно описать общие законы арифметики и алгоритмы. Символика Виета была сразу же оценена учёными разных стран, которые приступили к её совершенствованию. Среди непосредственных продолжателей дела создания символической алгебры можно назвать Хэрриота, Жирара и Отреда, практически современный вид алгебраический язык получил в XVII веке у Декарта.

 

Давайте просто вдумаемся….

Франсуа Виет решает уравнения 43-ей степени и, будучи главным шифровальщиком Франции, разгадывает секретные шифры переписки противника…, а символьная алгебра только появляется.

Отметим, что Виет создал алгебру почти в её современном понимании.

Чуть позже в алгебру  пришли буквы  a,b,c,  и  х,у,z, так хорошо известные сегодня любому школьнику. В алгебре математика получила абстрагирование от конкретики и свой неповторимый символьный язык. Символьная алгебра Виета проложила прямой путь к созданию алгоритма.

 

Философия Рене Декарта.

Через полвека после Виета решающий вклад в понимание математики, логики, философии внес Рене Декарт[21][21]. 

Здесь мы можем узнать, что:

 

В 1637 году вышел в свет главный математический труд Декарта, «Рассуждение о методе» (полное название: «Рассуждение о методе, позволяющем направлять свой разум и отыскивать истину в науках»).

В этой книге излагалась аналитическая геометрия, а в приложениях — многочисленные результаты в алгебре, геометрии, оптике (в том числе — правильная формулировка закона преломления света) и многое другое.

Особо следует отметить переработанную им математическую символику Виета, с этого момента близкую к современной. Коэффициенты он обозначал a, b, c…, а неизвестные — x, y, z. Натуральный показатель степени принял современный вид (дробные и отрицательные утвердились благодаря Ньютону). Появилась черта над подкоренным выражением. Уравнения приводятся к канонической форме (в правой части — ноль).

Символическую алгебру Декарт называл «Всеобщей математикой», и писал, что она должна объяснить «всё относящееся к порядку и мере».

…Книга «Метод» сразу сделала Декарта признанным авторитетом в математике и оптике. Примечательно, что издана она была на французском, а не на латинском языке. Приложение «Геометрия» было, однако, тут же переведено на латинский и неоднократно издавалось отдельно, разрастаясь от комментариев и став настольной книгой европейских учёных. Труды математиков второй половины XVII века отражают сильнейшее влияние Декарта.

 

Но, одной математикой интересы Декарта не ограничены.

Далее читаем:

 

Крупнейшим открытием Декарта, ставшим фундаментальным для последующей психологии, можно считать понятие о рефлексе и принцип рефлекторной деятельности. Схема рефлекса сводилась к следующему. Декарт представил модель организма как работающий механизм. При таком понимании живое тело не требует более вмешательства души; функции «машины тела», к которым относятся «восприятие, запечатление идей, удержание идей в памяти, внутренние стремления… совершаются в этой машине как движения часов».

Наряду с учениями о механизмах тела разрабатывалась проблема аффектов (страстей) как телесных состояний, являющихся регуляторами психической жизни. Термин «страсть», или «аффект», в современной психологии указывает на определённые эмоциональные состояния.

 

В философии Декарт - это целое направление картезианства[22][22]. 

Чуть конкретнее о философии:

 

Философия Декарта была дуалистической. Он признавал наличие в мире двух объективных сущностей: протяжённой (res extensa) и мыслящей (res cogitans), при этом проблема их взаимодействия разрешалась введением общего источника (Бога), который, выступая создателем, формирует обе субстанции по одним и тем же законам.

Главным вкладом Декарта в философию стало классическое построение философии рационализма как универсального метода познания. Разум, по Декарту, критически оценивает опытные данные и выводит из них скрытые в природе истинные законы, формулируемые на математическом языке. При умелом применении нет пределов могуществу разума.

Другой важнейшей чертой подхода Декарта был механицизм. Материя (включая тонкую) состоит из элементарных частиц, локальное механическое взаимодействие которых и производит все природные явления. Для философского мировоззрения Декарта характерен также скептицизм, критика предшествующей схоластической философской традиции.

 

Подчеркнем появление в логике и философии понятия «протяженной» и «мыслящей» сущностей. И отметим  переход к применению математических законов в формальной логике.

Механицизм[23][23] тогда понимался очень прямолинейно. Только в приложении к физическим законам и их применении к Живому. 

И наконец, там же читаем:

 

Самодостоверность сознания, cogito (декартовское «мыслю, следовательно, существую» — лат. Cogito, ergo sum), равно как и теория врождённых идей, является исходным пунктом картезианской гносеологии. Картезианская физика, в противоположность ньютоновской, считала всё протяжённое телесным, отрицая пустое пространство, и описывала движение с помощью понятия «вихрь»; физика картезианства впоследствии нашла своё выражение в теории близкодействия.

 

Cogito, ergo sum[24][24]  Аргумент указывает на самообнаружение субъекта в акте мышления (сознания): я мыслю — и, созерцая своё мышление, обнаруживаю себя, мыслящего, стоящего за его актами и содержаниями.

И, вот на что мы должны обратить внимание:

 

…Прежде всего, разбирая смысл положения «cogito, ergo sum», Декарт устанавливает критерий достоверности. Почему известное положение ума безусловно достоверно? Никакого другого критерия, кроме психологического, внутреннего критерия ясности и раздельности представления, мы не имеем. В нашем бытии как мыслящего существа убеждает нас не опыт, а лишь отчётливое разложение непосредственного факта самосознания на два одинаково неизбежных и ясных представления, или идеи, — мышления и бытия. Против силлогизма как источника новых знаний Декарт вооружается почти так же энергично, как ранее Бэкон, считая его не орудием открытия новых фактов, а лишь средством изложения истин уже известных, добытых другими путями. Соединение упомянутых идей в сознании есть, таким образом, не умозаключение, а синтез, есть акт творчества, так же как усмотрение величины суммы углов треугольника в геометрии. Декарт первый намекнул на значение вопроса, игравшего затем главную роль у Канта, — именно вопроса о значении априорных синтетических суждений.

 

Декарт пытается сделать логику не системой констатации известных фактов, а инструментом познания. Логику, а не её главную составляющую тогда – силлогизм.

Вот это главное – логика должна быть системой расчета логического решения

Здесь хотелось бы добавить, что, действительно, силлогизм, это лишь фиксация уже произведенного логического действия. Задача уже решена, и мы  лишь фиксируем результат её решения. В виде силлогизма.

Бекон и Декарт совершенно справедливо указывают на эту сторону силлогизма в логике. Они начали искать путь формализации решения логической задачи. Единственным известным тогда был путь применения математики. И на  том уровне, как тогда понималась математика.  Сначала это были элементы арифметики, потом алгебры…, что далее?

 

 

 

 

Истинная логика Б.Спинозы.

Выдающийся философ 17-го века  Бенедикт Спиноза[25][25].  Что внес он в формализацию логики?  Читаем здесь:

 

Свою философскую деятельность Спиноза начал как пламенный последователь Декарта, - читал лекции по философии картезианства. Но в результате в философии Спинозы от Декарта остался только рациональный подход к решению всех философских проблем. …

В противоположность Декарту, который считал механику и математику высшим уровнем исследования и формою выражения истины, Спиноза выше всего ставил геометрический стиль мышления. В этом отношении он разделял взгляды Томаса Гоббса, но более последовательно и с большим успехом применял геометрические методы исследования и изложения материала в своих философских произведениях.

 

А вот это мы выделим отдельно:

 

Результаты своих философских исследований Спиноза изложил в виде геометрических Аксиом, Лемм и Теорем, - способом четких логических определений и доказательств.  Своей логической безупречностью Спиноза до сих пор привлекает к себе сторонников среди великих ученых. Даже гениальный Альберт Эйнштейн не стыдился называть себя учеником Спинозы по проблемам философии.

 

Спиноза предложил в логике формальный путь геометрического способа доказательства.  Кстати сказать, этот геометрический стиль и приемы доказательства  остались в логике до сих пор. Вот как об этом говорит Т.А.Шиян [29]:

 

Осознание  дедуктивно-аксиоматического  способа  построения  теории  как  особого метода происходит только в XVII в. Поскольку единственным образцом, послужившим материалом  для  этой  методологической  рефлексии,  была  геометрия  Евклида,  то осознанный    метод    получил    название    геометрического.     Обычно    появление «геометрического  метода»  связывают  с  рецепцией  идей  Декарта  («Рассуждения  о

методе»  1637  г.  и  др.)  и  их  осмыслением  Паскалем  («О  геометрическом  уме  и  об искусстве убеждения») [Паскаль 1994].

Это   осознание   оказало   огромное   влияние   и   вызвало   длинный   ряд   попыток изложения различных теорий аксиоматическим методом.  Помимо Этики,  доказанной геометрическим   методом,   Спиноза   выстроил   аналогично   «Основы   философии Декарта, доказанные геометрическим методом» и Приложение к Краткому трактату о  Боге,  человеке  и  его  счастье.

 

Философские взгляды Спинозы кратко:

 

В противоположность дуалисту Декарту Спиноза был монистом. Он признавал существование только одной первоосновы мира, которую назвал субстанцией и отождествил ее с материальной природой. Он провозгласил  Природу единой, неделимой, вечной основой всего существующего, а также суммой всего существующего. Спиноза учил, что Природа (Субстанция) существует сама по себе, является причиной самое себя (Causa sui). Неотъемлемыми особенностями (Атрибутами) Природы-Субстанции является ее  (1) Протяженность и (2)  Мышление. Природа, писал он, - это субстанция протяженная и мыслящая. Как видим, Спиноза в отличие от Декарта считал мышление, дух не второй субстанцией, а только атрибутом одной и той же протяженной материи.

 

Понятие «Субстанция» от Аристотеля в философии Спинозы получает новые краски. «Протяженность» и «мышление» явно пришли в философию Спинозы от Декарта.

Познание, по мнению Спинозы происходит несколькими способами:

 

Спиноза различает четыре способа приобретения знаний, которые исчерпывают, по его мнению, всю познавательную деятельность человека:

1.Понаслышке или какому-то произвольному и второстепенному признаку;

2.Из беспорядочного, случайного опыта;

3. По неадекватному умозаключению  из сущности одной вещи/явления о сущности другой вещи/явлении, познание причин из следствий;

4.Восприятием единства через сущность.

 

Первый способ познания является единственным методом в религии: «Это так, потому что сказано в священном писании, потому что так сказал тот или этот великий богослов и так далее». Спиноза называет этот метод познания в корне ошибочным и решительно отбрасывает его….

Второй способ, метод беспорядочного опыта, ограничен житейским обиходом. Он имеет чисто практическое значение, но никак не раскрывает сущности познаваемых вещей: «Никто никогда не познаёт этим способом в делах природы ничего, которые никогда не бывают ясно понятны, если предварительно не познаны сущности познаваемого», - пишет философ.

Третий путь познания, познание причин из следствий или выведения сущности вещи из некоторого общего понятия, хотя и является научным, но он не даёт нам вполне адекватного и вполне достоверного, соответствующего сущности вещи/явления, знания.

Только четвёртый способ познания, который Спиноза называет интуитивным, даёт нам безошибочное, адекватное, строго соответствующее самой сущности вещи/явлению знание. Это знание содержит в себе внутреннюю истинность, внутреннюю достоверность, адекватно самой вещи.  Спиноза не отождествлял знание человека о вещи с самой вещью. Знания для него – это только идея.

 

Можно только удивляться такому атеизму Б.Спинозы. Рационализм и почти современная объективность суждения поражает. Не удивительно, что его труды  с интересом читаются и сегодня, в отличие от многих других уважаемых авторов.  

Далее об интуиции и истине:

 

…По учению Спинозы, интуиция ничего мистического в себе не содержит. Это рациональное, чисто умозрительное постижение истины на основе суждений о сущности субстанции.  Философ, конечно, не отрицал значение опыта и эксперимента в научном изучении тех или иных модальных (фактологических) сторон действительности. Но постижение сущности Природы/Бога, атрибутивно (необходимо) присущих ей особенностей, можно только рациональным, философскими, или что для Спинозы одно и тоже – интуитивным путём.

…установленная интуитивным образом, истина может служит эталоном для отличия истины от лжи. «Какое мерило истины может быть яснее и вернее, как не сама истинная идея, - риторически спрашивал он и отвечал: - Как свет обнаруживает и самого себя и окружающую тьму, так и истина есть мерило и самой себя и лжи» (Этика, часть II, теорема 43, схолия).

 

Снова интуиция. Как мерило истины, божественной истины…

А вот, вроде бы, о философских понятиях:

 

На уровне человека (как и на уровне любой другой вещи) это означает полное отсутствие такого явления как «свобода воли». Мнение о свободе воли возникает из мнимого, кажущегося произвола действий людей, «свои действия они осознают, причин же, которыми они определяются, не знают» (Э:III т.2). Поэтому «ребёнок убеждён, что он свободно ищет молока, разгневанный мальчик — что он свободно желает мщения, трус — бегства. Пьяный убеждён, что он по свободному определению души говорит то, что впоследствии трезвый желал бы взять назад» (Э:III, т.2). Свободу Спиноза противопоставляет не необходимости, а принуждению или насилию. «Стремление человека жить, любить и т. п. отнюдь не вынуждено у него силою, и, однако, оно необходимо». Человеческая свобода есть проявление желания человека действовать в соответствии с порядком и связью вещей. Человеческое рабство есть отсутствие этого желания. Истинно свободной является лишь вещь, являющаяся причиной самой себя, субстанция, Бог, Творец. Желание жить в соответствии с порядком и связью вещей и есть любовь к Богу, приносящее человеку спасение, или человеческую меру свободы.

 

Как мне показалось при поверхностном изучении, метафизика Спинозы представляет собой красивое сочетание почти современной психологии и вполне современной философии. На основе корректных логических построений.  С поправкой на время, конечно …

Здесь мы читаем:

 

…логический метод Спинозы представляет собой рефлек­сию интеллекта в себя, с тем чтобы себя усовершенствовать.

Откровенно неформальный характер его «истинной логики» делает ее прямой предшественницей трансцендентальной логики Канта и гегелевской диалектической логики.

Метод направляет и вы­страивает наши мысли ad datae verae ideae normam – «согласно норме данной истинной идеи». Его назначение заключается в том, чтобы раскрыть присущий всякой идее эвристический потенциал.

 

Истинная логика Б.Спинозы предполагает:

·        задание алфавита (определение терминов),

·        формулировку логических законов (аксиом),

·        вывод всех остальных положений (теорем) путём логических следствий.

Такая форма гарантирует истинность выводов в случае истинности аксиом.

Как мы видим, развитие логики идет вместе с развитием философии. И в то же время, логика начинает применять формализацию, применяемую в математике.  Алфавитные сокращения, основные аксиомы, геометрические приемы доказательства…

И все же, логика пока остается в подчинении философии. Разумность и домысливание в логическом построении автоматически включает в систему доказательства этические и моральные нормы, характерные для того или иного уровня развития человека и общества.

Формализации софистики и схоластики активно критикуются. Всё создается снова. Наука выходит из тени…

 

Логика Лейбница.

Одним из первых заинтересовался двоичной системой гениальный немецкий  ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц[26][26]. Сегодня можно сказать только, что он применил двоичную систему счета для математических вычислений.  А потом он занялся логическими  операциями. Но прямого совмещения логических операций и математических вычислений в двоичной системе счисления он не проводил. Может быть, и задумывался, но… его подход к логике был несколько иным.

Читаем здесь:

 

В 1666 г., заканчивая университет—еще  задолго  до  изобретения  механического калькулятора,—двадцатилетний Лейбниц набросал работу “Искусство  составления комбинаций”, которую скромно охарактеризовал как  “сочинение  школьника”. 

В этой работе были заложены основы  общего  метода  который  позволяет  свести мысль человека—любого вида и на любую тему—к совершенно точным и  формальным высказываниям.

Таким образом, открывалась возможность  перевести  логику  из словесного царства, полного неопределенностей,  в  царство  математики,  где отношения между объектами или высказываниями определяются совершенно  точно.

В  дополнение  к  своему  предложению  сделать  все  рациональное   мышление математически строгим, Лейбниц призвал к принятию “общего языка,  бесконечно отличающегося от всех существовавших до сих пор, поскольку  символы  и  даже слова его должны направлять наш разум, а ошибки, кроме тех, что  заложены  в исходных фактах, будут просто ошибками вычислений. Построить  или  изобрести такой язык или такие понятия очень трудно, но зато он  будет  легко  понятен без всяких словарей”.

 

Как мне показалось, это изложение слишком современно излагает суть предлагаемого «общего языка». Оно навеяно современным опытом и общим направлением развития. Во времена Лейбница ничего этого не было, и проблема понималась иначе.

В Википедии читаем:

 

Лейбниц также является завершителем философии XVII века и предшественником немецкой классической философии, создателем философской системы, получившей название монадология[12]. Он развил учение об анализе и синтезе[1][13], впервые сформулировал закон достаточного основания (которому, однако, придавал не только логический (относящийся к мышлению), но и онтологический (относящийся к бытию) смысл: «... ни одно явление не может оказаться истинным или действительным, ни одно утверждение справедливым, — без достаточного основания, почему именно дело обстоит так, а не иначе...»)[12][14]; Лейбниц является также автором современной формулировки закона тождества[1][4][13]; он ввёл термин «модель»[1], писал о возможности машинного моделирования функций человеческого мозга[15]. Лейбниц высказал идею о превращении одних видов энергии в другие[1], сформулировал один из важнейших вариационных принципов физики — «принцип наименьшего действия» — и сделал ряд открытий в специальных разделах физики[1][4].

 

И тут же читаем далее:

 

Лейбниц видел, что логика подразделяет простые понятия на известные разряды, так называемые предикаменты[27][27] (на языке схоластики предикамент означал то же самое, что и категория), и его удивляло, почему таким же образом не подразделяют сложные понятия или даже суждения так, чтобы один член вытекал или выводился из другого[22]. Готфрид придумал собственные разряды, которые он тоже называл предикаментами суждений, образующими содержание или материал умозаключений, подобно тому, как обыкновенные предикаменты образуют материал суждений; когда он высказал эту мысль своим учителям, они не ответили ему ничего положительного, а лишь сказали, что «мальчику не годится вводить новшества в предметы, которыми он ещё недостаточно занимался»[22].

 

Это уже вполне четкая формализация логики по Лейбницу.

А вот и главное, … о логике:

 

В логике Готфрид Вильгельм Лейбниц развил учение об анализе и синтезе[1][13]. Логику он понимал как науку о всех возможных мирах[13]. Лейбниц впервые сформулировал закон достаточного основания; ему также принадлежит принятая в современной логике формулировка закона тождества[1][4][13]. Закон тождества он считал высшим принципом логики[8]. «Природа истины вообще состоит в том, что она есть нечто тождественное»[110].

Сформулированный Лейбницем закон тождества в настоящее время используется в большинстве современных логико-математических исчислений[47]. С законом тождества связан принцип подстановки эквивалентных: «Если А есть В и В есть А, тогда А и В называются „тем же самым“. Или: А и В есть то же самое, если они могут быть подставлены один вместо другого»[111].

Для Лейбница принципы тождества, подстановки эквивалентных и противоречия — это основные средства всякого дедуктивного доказательства; опираясь на них, Лейбниц предпринял попытку доказать некоторые так называемые аксиомы[47]. Он считал, что аксиомы — это недоказуемые предложения, представляющие собой тождества, но в математике далеко не все положения, выдаваемые за аксиомы, представляют собой тождества, а потому их, с точки зрения Лейбница, необходимо доказывать[47]. Введённый Лейбницем критерий отождествления и различения имён соответствует в известной мере современному различению между смыслом и значением имён и выражений, например, широко известный пример с эквивалентностью выражений «сэр Вальтер Скотт» и «автор Веверлея», восходящий к Расселу, буквально повторяет эту мысль Лейбница[112].

 

С понятием тождества мы можем познакомиться отдельно. Это понятие сложно определяется в математике и пересекается с лексической тавтологией [38].

Здесь читаем:

 

В 1666 году Готфрид Вильгельм Лейбниц написал одно из своих многочисленных сочинений — «Об искусстве комбинаторики» («De arte kombinatoria»)[8]. Опередив время на два века, 21-летний Лейбниц задумал проект математизации логики. Будущую теорию (которую он так и не завершил) он называет «всеобщая характеристика». Она включала все логические операции, свойства которых он ясно представлял.

 

Тут лучше и не скажешь. Математизация логики Лейбницем предлагалась тогда почти в том виде, в каком математическая логика  представляется многим ученым и сейчас.  Насколько эта точка зрения соответствует  реалиям, это, видимо еще только предстоит понять. Хотя предпосылки критического подхода уже есть.

Лейбниц многократно возвращался к задаче «математизации» формальной логики, пробуя применять при этом арифметику, геометрию и комбинаторику — область математики, основным создателем которой являлся он сам. Материалом для этого ему служила традиционная силлогистика, достигшая к тому времени высокой степени совершенства. Важное место у Лейбница занимала защита объекта и метода формальной логики. Лейбниц  писал Г. Вагнеру следующее:

 

... хотя г-н Арно в своём искусстве мышления утверждал, что люди редко ошибаются в форме, а почти исключительно в сути, в действительности дело обстоит совсем иначе и уже г-н Гюйгенс вместе со мной заметил, что обычно математические ошибки, называемые паралогизмами[28][28], вызываются неряшливостью формы. И, конечно, не пустяк то, что Аристотель вывел для этих форм строгие законы и тем самым оказался первым, кто вне математики писал математически[115].

 

Но не хватало просто соединения логики и математики в самом процессе вычисления. Лейбниц прекрасно это понимал. Нужен был механизм этого соединения. Возможно, это и стало побудительным мотивом в разработке механических вычислителей Лейбница

 

В 1673 году, после знакомства с Христианом Гюйгенсом, Лейбниц создал механический калькулятор (арифмометр), выполняющий сложение, вычитание, умножение и деление чисел, а также извлечение корней и возведение в степень[3]. Машина была продемонстрирована во Французской академии наук и лондонском Королевском обществе[3].

… Как инженер, Лейбниц работал над вычислительными машинами, часами и даже над оборудованием для горнодобывающей промышленности…

 

Но, считать сама машина стала лишь через два с половиной века. Только в середине 20-го века. А пока продолжим…

 

Булева логика.

Математика уже с 17 века переживала очередной подъем. Он был связан с работами  Ф.Виета, И.Кеплера[29][29], Р.Декарта, И.Ньютона[30][30], Г.Лейбница…. 

Бурное развитие математики в 17-18вв отразилось и на логике. Логика уже получила форму строгого геометрического доказательства, она получила алфавит для сокращения обозначений исследуемых логических объектов, математический путь формирования свода положений на основе начальных  базовых аксиом…  

Активно развивалась и философия. 

И вот пришел 19-й век. Логика шла к символьному методу отображения уже применявшемуся в математике. Алгебра уже шла к высшему анализу…

Этот период математизации логики мы начнем, конечно, с Джорджа Буля[31][31]. 

Вот из Википедии:

 

Буль был, вероятно, первым после Джона Валлиса математиком, обратившимся к логической проблематике. Идеи применения символического метода к логике впервые высказаны им в статье «Математический анализ логики» (1847). Не удовлетворённый полученными в ней результатами, Буль высказывал пожелание, чтобы о его взглядах судили по обширному трактату «Исследование законов мышления, на которых основываются математические теории логики и вероятностей» (1854).

 

Мы запомним имя Джона Валлиса[32][32]. Валлис, был, без преувеличений, гениальным математиком своего времени, кроме того он писал трактаты о логике, об английской грамматике, о способе обучения глухонемых разговору и множество сочинений богословского и философского содержания. 

Теперь немного о научной деятельности Дж. Буля [16]:

 

Буль в 1839 г. послал в кембриджский журнал свою статью "О некоторых теоремах в исчислении переменных". Хотя автор был совершенно неизвестен в математическом мире, оригинальность работы и стиль изложения поразили редактора: он опубликовал ее в следующем году и вступил в дружескую переписку с Булем, которая продолжалась вплоть до безвременной кончины Грегори. Ободренный поддержкой, Джордж в течение нескольких лет публикует в том же журнале статьи по операторным методам анализа, теории дифференциальных уравнений и алгебраических инвариантов. Пожалуй, это самое замечательное достижение молодого Буля: не будь теории инвариантов, развитой впоследствии Артуром Кэли и Джеймсом Сильвестром, возможно, "не состоялась" бы и теория относительности Альберта Эйнштейна. Наконец, в 1844 г. Буль удостаивается самой высокой для английского математика чести: Лондонское королевское общество награждает его золотой медалью за статью "Общий метод анализа". В заключительном абзаце этой работы Буль как бы намечает направление своих будущих исследований: "Положение, обоснование которого больше всего меня занимает, заключается в том, что любой значительный прогресс в высшем анализе немыслим без повышенного внимания к законам комбинации символов. Значение этого положения едва ли можно переоценить, и я только сожалею, что из-за отсутствия книг, а также из-за обстоятельств, неблагоприятных для занятий математикой, я не могу привести совершенное доказательство его справедливости…"

 

Там же далее [16]:

 

Буль в середине 40-х гг. начинает усиленно заниматься проблемами логики и создает новое исчисление: вводит определенную символику, операции и законы, определяющие эти операции. Если Лейбниц в свое время пытался арифметизировать логику, то Буль ее алгебраизирует, превращая в математическую науку. В принципе, его идеи лежали в русле попыток английских алгебраистов создать символическую алгебру, т. е. "науку о символах и их комбинациях, конструируемых по их собственным правилам, которая может быть применена к арифметике или к другим наукам посредством интерпретации" (Д. Пикок). Черновые наброски булевого исчисления, заложившего основу современной математической логики, относятся к лету 1846 г.

… Публикация, о которой шла речь в предыдущем абзаце, была тоненькой книжкой "Математический анализ логики, являющийся опытом исчисления дедуктивного рассуждения" (The mathematical analysis of logic, being an essay towards a calculus of deductive reasoning). В предисловии автор писал: "Те, кто знаком с настоящим состоянием символической алгебры, отдают себе отчет в том, что обоснованность процессов анализа зависит не от интерпретации используемых символов, а только от законов их комбинирования. Каждая интерпретация, сохраняющая предложенные отношения, равно допустима, и подобный процесс анализа может, таким образом, при одной интерпретации представлять решение вопроса, связанного со свойствами чисел, при другой – решение геометрической задачи и при третьей – решение проблемы динамики или оптики…". Новаторство Буля состояло в ясном осознании абстрактности создаваемого им исчисления, определяемого лишь теми законами, которым подчиняются операции.

 

В своей главной книге "Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и вероятности" (An investigation of the laws of thought, on which are founded the mathematical theories of logic and probability), опубликованной в 1854 г. в Лондоне, Буль пишет [16]:

 

"Цель настоящего исследования состоит в том, чтобы изучить те законы операций ума, посредством которых осуществляются рассуждения; в том, чтобы дать выражение этих законов в символическом языке логического исчисления, и на этом основании утвердить логику как науку и ее методы; в том, чтобы сделать эти методы базисом еще более общего метода в целях приложения его к математической теории вероятностей; и, наконец, в том, чтобы проложить путь к выдвижению некоторых вероятностных указаний, касающихся природы и структуры человеческого мышления".

 

Теперь ещё немного о понимании логики. Здесь:

 

Буль не считал логику разделом математики, но находил глубокую аналогию между символическим методом алгебры и символическим методом представления логических форм и силлогизмов. Единицей Буль обозначал универсум мыслимых объектов, буквенными символами — выборки из него, связанные с обычными прилагательными и существительными (так, если x="рогатые", а y="овцы", последовательный выбор x и y из единицы даст класс рогатых овец). Буль показал, что символика такого рода подчиняется тем же законам, что и алгебраическая, из чего следовало, что их можно складывать, вычитать, умножать и даже делить.

 

Мы видим явное противоречие в этом описании  начал математизации логики.

Буль увидел, как раз, обратное.  Он увидел связь логики и математики в алгебраической символике. С применением новейшей тогда, теории вероятностей. 

И нет в этом ничего удивительного. Буль развивал новейшее направление  высшего анализа и символическую алгебру. В том числе и в логике.

Вернемся к Википедии:

 

В такой символике высказывания могут быть сведены к форме уравнений, а заключение из двух посылок силлогизма — получено путём исключения среднего термина по обычным алгебраическим правилам. Ещё более оригинальной и примечательной была часть его системы, представленной в «Законах мышления…», образующая общий символический метод логического вывода. Буль показал, как из любого числа высказываний, включающих любое число терминов, вывести любое заключение, следующее из этих высказываний, путём чисто символических манипуляций. Вторая часть «Законов мышления…» содержит аналогичную попытку обнаружить общий метод в исчислении вероятностей, позволяющий из заданных вероятностей совокупности событий определить вероятность любого другого события, логически связанного с ними.

 

Мы отметим главное: применение математических методов записи логических задач в виде алгебраических выражений позволило фиксировать задачу в знаковой форме. Это потребовало математической интерпретации логических операций.

Здесь мы находим не менее интересную информацию:

 

В ХIХ в. символическая логика становится наиболее привлекательной сферой логического знания. Среди наиболее известных представителей математической логики выделяется английский математик Д. Буль (1815 - 1864). В работах «Математический анализ логики» и «Исследование законов мышления» он закладывает основы алгебраических исчислений конкретных элементов (классов) как отношений (операций). Буль стремился перевести на язык знаков отношения между идеями, объектами и абстрактными системами. Булева алгебра - это решение логических задач путем использования трех операций: а) сложение классов (А U В), умножение классов (А ? В), и дополнение к классу (А?). Алгебра Буля была применима и в прикладных случаях, например, при интерпретациях конкретно-релейных схем, в исчислениях при программировании в ЭВМ и т.д.

 

Отметим, что исходная форма и понимание логических операций логики Буля не совпадает с её современной интерпретацией.

Для понимания сути лучше обратиться еще к одному источнику [16]:

 

Не вдаваясь в подробности булевого исчисления (это предмет истории логики, а не ВТ), отмечу важное для нас обстоятельство. Рассматривая введенные им термины "логическая функция" и "логическое уравнение", Буль пишет о возможности "…вместо определения меры согласованности символов логики с числовыми символами непосредственно сопоставлять логическим символам количественные символы, принимающие лишь значения "0" и "1" (курсив мой – Ю. П.)". И далее: "Поскольку процессы формального рассуждения зависят от законов, которым подчинены символы, а не от природы их интерпретации, мы позволим себе трактовать символы x, y, ... так, как если бы они были количественными символами вышеописанного рода. Мы можем в действительности пренебречь логической интерпретацией символов данного уравнения, считать их количественными символами, принимающими лишь значения "0" и "1", выполнить над ними все обычные приемы решения, а в конце возвратить им их логическую интерпретацию."

 

Вот он алгебраический подход Виета, главный со времен средневековья. Высшее достижение в абстракции математики. Что еще мог предложить профессиональный и талантливый математик Дж.Буль? Только математическое понимание логики в соответствии с  общим направлением развития науки, не только того времени, но и настоящего дня.

 

«Кембриджский символист» Август де Морган.

Теперь немного о Августе де Моргане[33][33].  Морган публикует свои работы  по логике почти одновременно с работами Дж. Буля и У.Гамильтона[34][34]. 

О трудах де Моргана находим:

 

Основные труды: по математической логике и теории рядов; к своим идеям в алгебре логики пришёл независимо от Дж. Буля. Изложил (1847) элементы логики высказываний и логики классов, дал первую развитую систему алгебры отношений. С его именем связаны известные теоретико-множественные соотношения (законы де Моргана).

 

Вот интересная цитата:

 

Научные установки Моргана формировались под влиянием идей школы “кембриджских символистов”, активным членом которой он был. В фокусе интересов этой школы стояло изучение необычных числовых систем и соответствующих им алгебр, одну из которых Морган экстраполировал в область логики.
Длительное время (с 1846 по 1855 г.) А. Морган полемизировал с У. Гамильтоном по вопросам математической обработки дедуктивной логики (в том числе по проблеме квантификации предиката). По признанию самого Моргана, его дискуссия с Гамильтоном была похожа на “спор кошки с собакой”. Однако, учитывая слабое здоровье своего оппонента, Морган зачастую смягчал формы выражения своего полемического, задора. Гамильтон, в конце концов, вынужден был капитулировать и перестал оспаривать приоритет Моргана в математической трактовке приемов классической логики. К сожалению, оба спорщика были мало осведомлены о своих предшественниках … и изображали лишь себя в качестве первых кладчиков фундамента символической логики.

 

Надо ли еще говорить, что уже к середине  19-го века все основные положения и понимание математической логики и символической алгебры были сформированы почти в современном виде. Но, математическая формализация логических задач не отменила «разумного подхода» к пониманию этой формы записи. Запись формализовали   в алгебраическое выражение, а смысловое домысливание   в логике осталось.

Нам не хватает только заключительного шага математики в логику. Математики как системы автоматных правил работы вычислительной машины.

Этот шаг был сделан много позже… почти через век.

 

Семиотика Пирса.

Обычно считается, что именно Пирсу[35][35], так любившему создавать новые термины, мы обязаны термином «семиотика[36][36]» (хотя в действительности этот термин предложил ещё Дж.Локк, в последних строках своего «Опыта о человеческом разумении»). Соссюр[37][37] же дал новой науке название «семиология», получившее большее распространение в теоретической лингвистике. Это учение должно иметь своей задачей «рассмотреть природу знаков, которыми ум пользуется для понимания вещей или для передачи своего знания другим».

В Википедии находим:

 

Семиотика выделяет три основных аспекта изучения знака и знаковой системы:

1.      синтаксис (синтактика) изучает внутренние свойства систем знаков безотносительно к интерпретации;

2.      семантика рассматривает отношение знаков к обозначаемому;

3.      прагматика исследует связь знаков с «адресатом», то есть проблемы интерпретации знаков теми, кто их использует, их полезности и ценности для интерпретатора.

 

Здесь начало программирования и искусственных языков. Здесь начало  и системы записи логических выражений математической логики.

Пирс нам известен сегодня более по введенному им знаку логической операции:

 

Стре́лка Пи́рсабинарная логическая операция, булева функция над двумя переменными. Стрелка Пирса, обычно обозначаемая ↓, задаётся следующей таблицей истинности…

Стрелка Пирса, как и Штрих Шеффера, образует базис для пространства булевых функций от двух переменных.

 

В 1879 г. Чарльз Сандерс Пирс назначен преподавателем логики в университете Джонса Хопкинса.

 

Бертран Рассел и Альфред Норт Уайтхед

И вот на пороге  20-й век, «золотой век» математической логики.

В начале века публикует свои работы Бертран Рассел[38][38]:

 

Профессор Рассел является автором множества работ в области математической логики. Важнейшая из них — «Начала математики» (19101913) (в соавторстве с А. Уайтхедом) — доказывает соответствие принципов математики принципам логики и возможность определения основных понятий математики в терминах логики. Отмечалось, что вклад Рассела в математическую логику является наиболее значительным и фундаментальным со времен Аристотеля.

Рассел считал, что философию можно сделать наукой (а к этому понятию он относил только технические науки), выразив её основные построения в терминах логики. Этому был посвящен ряд его работ. Такому же детальному анализу была подвергнута и психология.

Книга Рассела «Проблемы философии» (1912) до сих пор считается в англосаксонских странах лучшим введением в философию. Он также автор широко известной «Истории западной философии» (1945) — изложение основных философских концепций с античности и до времени написания работы. Свою философскую позицию Рассел определял как реализм и логический атомизм (отчасти под влиянием Витгенштейна), поскольку «картина мира» есть совокупность логических высказываний. Рассел принимает теорию внешних отношений, следствием которой было утверждение существования субстанциально-нейтральных элементов мира, при котором имеется функциональное различение субъективного и объективного. Сама теория была взаимосвязана с разделением бытия на «существующее» (физические вещи и содержание сознания) и «идеально существующее» (математические и логические объекты, отношения, прошлые и будущие события, заблуждения, иллюзии, кентавры, круглые квадраты)[5].

 

Как мы видим, математическая логика в работах Б.Рассела получает новую философскую платформу. «Картина мира», это совокупность логических высказываний, естественно, в математической интерпретации  логического атомизма.

Не отстает и  учитель Рассела,  Альфред Уайтхед[39][39].

Уже в 1890 году внимание Уайтхеда привлёк один из самых его многообещающих учеников в Кэмбридже — Бертран Рассел. В июле 1900 года они отправились в Париж на Первый международный конгресс по философии, где их поразило выступление Джузеппе Пеано и в особенности аксиомы Пеано: принципы арифметики, казалось, можно было свести к началам символической логики. Рассел не только освоил аксиомы Пеано, но и значительно обобщил его идеи в своём первом наброске «Принципов математики» (1900). Ознакомившись с этой работой, Уайтхед признал, что логика — более фундаментальная дисциплина, чем математика, и что вся математика строится на «уточнённых» началах формальной логики.

До 1910 году Уайтхед и Рассел работали над переработкой «Принципов математики» в трёхтомный труд «Principia Mathematica», само название которого отсылает к ньютоновскому шедевру «Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica». «Сверхзадачей этой работы было охватить логической схемой все наличное содержание математического знания»[1].

… В начале 1925 году чета направилась в Бостон, где Уайтхед прочёл восемь лекций по теме «Наука и современный мир», в которых подверг беспощадной критике «научный материализм» как господствующее в современном мире воззрение, согласно которому природа сводится к материи в движении, либо к перетекающей из одного состояния в другое физической энергии. Собственные идеи Уайтхеда были пересыпаны цитатами из его любимых поэтов, Вордсворта и Шелли.

В январе 1927 года Уайтхед был приглашён с лекциями в Эдинбургский университет. К этому времени его метафизическая «философия организма» стала слишком сложной для понимания рядовых студентов, и он был вынужден разработать замысловатый понятийный аппарат для её корректного и внятного изложения.

…Уайтхед продолжал лекционную деятельность в Гарварде до 1937 года…. Его последней крупной работой был трактат «Приключения идей» (1933), в котором он продемонстрировал, как одни и те же идеи, несмотря на их кажущийся антагонизм, являются отражением единой сущности. Резюмируя свою метафизическую теорию, Уайтхед высказал оригинальные мнения по поводу содержания таких понятий, как красота, истина, искусство, приключение и мир.

 

В математике, логике и компьютерных науках теорией типов[40][40] считается или какая-либо формальная система, являющаяся альтернативой наивной теории множеств, или изучение подобных формализмов. Современная теория типов была частично разработана в процессе разрешения парадокса Рассела и во многом базируется на работе Бертрана Рассела и Альфреда Уайтхеда «Principia Mathematica».

И, наконец-то признается первенство логики в формировании  математики…, хоть, как мы знаем, логика и началась с геометрии. Математика признается лишь  отдельной логической системой, со всеми вытекающими последствиями этого.

 

Логика Людвига  Витгенштейна.

Людвиг Витгенштейн[41][41],  это весьма яркая личность в логике…

Читаем:

 

Людвиг Витгенштейн (1889–1951) — один из самых оригинальных и влиятельных мыслителей XX столетия, в творчестве которого соединились идеи зародившейся в Англии аналитической философии и континентальной, прежде всего немецкой мысли (И. Кант, А. Шопенгауэр и другие). В работах Витгенштейна заметно влияние античной классики (Платон, софисты), философии жизни (Ф. Ницше), прагматизма (У. Джеймс) и других течений. Вместе с тем он самобытный мыслитель, органично соединивший две характерные черты философии XX века: интерес к языку и поиск смысла, сути философствования. В аналитической философии ему суждено было занять особое место, стать центральной фигурой, без которой уже трудно представить общую панораму этого движения и даже современный облик мирового философского процесса в целом.

… Созданные в разное время, с разных позиций две концепции Витгенштейна «полярны» и вместе с тем не чужеродны друг другу. В обеих раскрывается принципиальная связь философских проблем с глубинными механизмами, схемами языка. Развивая первый подход, Витгенштейн продолжал дело Фреге и Рассела. Вторая, альтернативная программа скорее напоминала позднего Мура. «Ранняя» и «поздняя» концепции Витгенштейна — это как бы «предельные» варианты единого философского поиска, длившегося всю жизнь.

 

Логика  Л. Витгенштейна в кратком изложении:

 

Тесная связь логики с теорией познания (эпистемологией) обусловливалась у Витгенштейна тем, что логические атомы — элементарные высказывания — повествуют о событиях. Логическим комбинациям элементарных высказываний (по терминологии Рассела, молекулярным предложениям) соответствуют ситуации комплексного типа, или факты. Из «фактов» складывается «мир». Совокупность истинных предложений дает «картину мира». Картины мира могут быть разными, поскольку «видение мира» задается языком, и для описания одной и той же действительности можно использовать разные языки (скажем, разные «механики»). Важнейшим шагом от логической схемы к философской картине знания о мире и самого мира стало толкование элементарных высказываний как логических «картин» фактов простейшего типа (событий). В результате все высказываемое предстало как фактичное, то есть конкретное, или обобщенное (законы науки) повествование о фактах и событиях мира.

 

Ну, вот же, есть логика событий, вернее – была. Где же она сегодня?

Сегодня события снова стали переменными в логических функциях и потеряли самостоятельность в этой логике математических преобразований…

Вот еще:

 

Другим важным стимулом для Витгенштейна послужили концепции Г.Фреге и Б.Рассела, под руководством которых он некоторое время работал. У первого он воспринял и творчески переработал понятия пропозициональной функции (что позволило отказаться от устаревшего способа анализа предложений в субъективно-предикатной форме) и истинностного значения семантического различения смысла и значения языковых выражений. У второго – метод логического анализа языка, направленный на выявление «атомарных предложений», которым в реальности соответствуют «атомарные факты», а также отдельные элементы логицистской программы обоснования математики. Первоначальная позиция Витгенштейна сформулирована в его «Дневниках 1914–16 годов» (Notebooks 1914–16, 2 ed. Oxf., 1979). В них он выражает уверенность в безграничных возможностях новой логики, в особенности логического синтаксиса. Философия, по его мнению, должна описывать практику использования логических знаков. Мировоззренческие фрагменты «Дневников» противоречиво сочетают пессимистические (в духе Шопенгауэра) и оптимистические мотивы в вопросе о смысле жизни. Данный текст, а также некоторые другие подготовительные материалы послужили основой для главной работы его «раннего» периода «Логико-философского трактата» (Tractatus Logico-philosophicus). Текст книги был написан в 1918, опубликован в 1921 в Германии. В 1922 вышел английский перевод трактата с предисловием Рассела, принесший Витгенштейну широкую известность среди англоязычных философов. Предисловие Рассела, в котором разбирались в основном логические идеи, вызвало несогласие автора книги, считавшего самым важным ее философско-мировоззренческое содержание.

 

Отметим, что Витгенштейн  работал с логическим синтаксисом[42][42].  Наконец-то логика получила формализацию, отделенную от смысловой нагрузки…

Есть логическое выражение, и есть правила его формирования. Важно только это, а не вкладываемый в это выражение разумный  смысл. Теперь интерпретация выражений находится и понимается  в границах правил формирования этих выражений.

К трудам Г.Фреге[43][43] мы постараемся вернуться. Г.Фреге снова указал на математику, как на логическую систему. Одну из многих. 

 

Развитие математической теории логики.

Проследить дальнейшее развитие теории математической логики достаточно просто. Все действующие лица и вехи этого пути достаточно известны. Начинаем…

Теория логики получила развитие в работах … по квантовой механике.

 

ЛО́ГИКА КВА́НТОВОЙ МЕХА́НИКИ - логика, все законы к-рой применимы в рассуждениях об объектах микромира и в частности об объектах, рассматриваемых в квантовой механике (отсюда и название этой логики). Обычная классич. логика не может служить логикой рассуждений о микрообъектах, т.к. классич. исчисление высказываний – эта основа классич. Логики – является т.н. булевой алгеброй (см. Алгебра логики) и применимо лишь к таким областям знания, в к-рых к каждому высказыванию может быть отнесено одно и только одно из двух значений истинности: "истинно", "ложно" (если это обычное двузначное исчисление высказываний), приписана одна и только одна степень вероятности (если это вероятностная логика, являющаяся т.н. булевой алгеброй с мерой). Но в квантовой механике ни первое, ни второе условие не выполняется;

 

Как утверждали сами разработчики квантовой теории, они только философски обобщали свои понимания новых физических законов, работающих в их физике. Но, так или иначе, а принципы были опубликованы, им были найдены понятные философские обобщения, которые и стали рассматриваться, как их основные понимания.

Сегодня мало кто точно знает смысл того или иного принципа квантовой механики, а вот название и общее логическое понимание этих принципов знают многие…

 

Вернер Гейзенберг[44][44] и принцип неопределенности.

 

Принцип неопределённости Гейзенбе́рга (или Га́йзенберга) в квантовой механике — фундаментальное неравенство (соотношение неопределённостей), устанавливающее предел точности одновременного определения пары характеризующих квантовую систему физических наблюдаемых (см. физическая величина), описываемых некоммутирующими операторами (например, координаты и импульса, тока и напряжения, электрического и магнитного поля).

…Принцип неопределённости, открытый Вернером Гейзенбергом в 1927 г., является одним из краеугольных камней квантовой механики.

 

О принципе неопределенности, здесь читаем:

 

В своей общей форме, он применим к каждой паре сопряжённых переменных. В общем случае, и в отличие от случая координаты и импульса, обсуждённого выше, нижняя граница произведения «неопределённостей» двух сопряжённых переменных зависит от состояния системы. Принцип неопределённости становится тогда теоремой в теории операторов…

 

Физическая вселенная существует не в детерминистичной форме, а скорее как набор вероятностей, или возможностей. Например, картина (распределение вероятности) произведённая миллионами фотонов, дифрагирующими через щель может быть вычислена при помощи квантовой механики, но точный путь каждого фотона не может быть предсказан никаким известным методом. Копенгагенская интерпретация считает, что это не может быть предсказано вообще никаким методом.

 

Здесь и далее текст определения принципов  выделен мною. Вот это самое общее понимание принципа неопределенности. Теория вероятностей в глобальном понимании. 

Может быть, из этого понимания, видимо  уже во второй половине  20-го века сформировалась нечеткая логика Л.Заде[45][45].

Принцип соответствия. Этот принцип ввёл Нильс Бор[46][46] в 1923 году:

 

При́нцип соотве́тствия — в методологии науки утверждение, что любая новая научная теория при наличии старой, хорошо проверенной теории находится с ней не в полном противоречии, а даёт те же следствия в некотором предельном приближении (частном случае). Например, закон Бойля-Мариотта является частным случаем уравнения состояния идеального газа в приближении постоянной температуры; кислоты и основания Аррениуса являются частным случаем кислот и оснований Льюиса и т.п.

 

Нильс Бор ввел и принцип дополнительности:

 

Принцип дополнительности — один из важнейших принципов квантовой механики, сформулированный в 1927 году Нильсом Бором. Согласно этому принципу, для полного описания квантовомеханических явлений необходимо применять два взаимоисключающих («дополнительных») набора классических понятий, совокупность которых даёт исчерпывающую информацию об этих явлениях как о целостных. Например, дополнительными в квантовой механике являются пространственно-временная и энергетически-импульсная картины.

 

Фактически, этот принцип четко указывает на противоположности и их взаимодействие. Принцип  дополнительности дает возможность поставить вопрос о логических противоположностях, как сложных понятиях.

 

Но вот что странно, все эти принципы не стали философской классикой. Развитие свое они получили в квантовой механике и математике. Почему эти принципы до сих пор не включены в  формальную и математическую логику – непонятно.

 

В свою очередь, математическая логика развивается в теории вычислимости.

Читаем в Википедии:

 

Теория вычислимости — это раздел современной математики и теории вычислений, возникший в результате изучения понятий вычислимости и невычислимости. Изначально теория была посвящена вычислимым и невычислимым функциям и сравнению различных моделей вычислений. Сейчас поле исследования теории вычислимости расширилось — появляются новые определения понятия вычислимости и идёт слияние с математической логикой, где вместо вычислимости и невычислимости идёт речь о доказуемости и недоказуемости (выводимости и невыводимости) утверждений в рамках каких-либо теорий.

Теория вычислимости берёт свое начало от диссертации Тьюринга (1936), в которой он ввел понятие абстрактной вычислительной машины, получившей впоследствии его имя, и доказал фундаментальную теорему о неразрешимости задачи о её остановке. Знаменитая теорема Гёделя о неполноте (1931) была доказана в терминах примитивно рекурсивных функций, класс которых в 1934 году Гёдель расширил до класса общерекурсивных функций. Формализм, развитый Гёделем оказался эквивалентным тьюринговскому (а также многим другим). Вместе с Тезисом Чёрча — Тьюринга этот факт явно продемонстрировал содержательность новой теории, и сейчас эти определения общеприняты в качестве формального аналога алгоритмически вычислимых функций.

 

Далее немного о вкладе Курта Геделя