Никитин А.В.

О «крайнем и среднем…»

 

Сомнения в правильности понимания этой теоремы из Начал Евклида стали появляться по мере ознакомления с материалами о ЗС в различных источниках.

Есть одно обстоятельство, обратившее на себя пристальное внимание.

Когда читаешь в книге 6 определение 3 Начал Евклида, то невольно спрашиваешь себя: Почему так странно сформулировано? Почему «крайнее и среднее» отношение?

Есть два отношения, объединенные в математическую пропорцию по современным понятиям. Какое из них крайнее, а какое – среднее? Почему вообще возникли эти понятия в применении к этой пропорции?

Неудачный перевод? Или это было так изначально, в оригинале? Почему Евклид так назвал эту пропорцию?

Тогда, что может означать «среднее» и что – «крайнее», если взять их за основу понимания, отойдя от конкретного, математического?

Можно предположить, что Евклид использовал в названии пропорции уже хорошо известные тогда понятия, о «крайнем и среднем». И вставил их в определение пропорции.

Тогда где может находиться это «крайнее» и это «среднее»?

 

Что такое «среднее и крайнее»?

Как мы знаем, философия Гармонии пифагорейцев была построена на гармоничности и стройности музыкальных интервалов. В этом они видели и соразмерность, и соединение частей в общем Мироздании.

Очень возможно, что понимание «среднего» и «крайнего» надо искать в монохорде.

Мы знаем, что пифагорейцы проводили много опытов с монохордом. Монохорд, это струна, натянутая над сдвигаемым порогом. Положение порога определяло звучание этой струны. Если порог находился в самом начале струны, у колка, то звучала вся длина струны, если порог сдвигался вниз к нижней части натянутой струны, к грузу или точке крепления, то звучала уже только нижняя часть струны.

У струны только одна «крайняя» точка - самая дальняя от начала, колка и верхнего порожка - на нижнем порожке. Вот от неё и можно отсчитывать.

А «средняя» - на сдвигаемом пороге, на точке деления, того же монохорда. Или лада. Измеряется только одна длина. От «средней» точки до конца струны или до «крайней» точки. Их отношение. Так это могли понимать пифагорейцы.

Тогда, понятия «крайнего и среднего», это основополагающие понятия пифагорейской философии? Надо бы поискать. Где?

Конечно же, в музыке Древней Греции.

При исследовании струны на монохорде пифагорейцы установили, что звучание половины струны точно соответствует тональности звучания полной струны, это первый музыкальный интервал - октава.

Пифагорейцы и далее находили гармонические интервалы. Сначала, в пределах одной октавы. Их, прежде всего, интересовали музыкальные интервалы, дающие красивое созвучие, как с основным тоном, так и между собой. Так были найдены интервалы, не кратные двоичному делению, например, 3/4. Они давали стройное звучание без низкочастотных биений. Постепенно были найдены все основные музыкальные интервалы.

Эти знания были применены при конструировании музыкальных инструментов того времени – арфы, кифары…, и стали основой ладовой системы музыки Древней Греции.

В Древней Греции, как впрочем, и в остальном мире, очень долго в ходу были пятиступенные гаммы¹. Они и послужили основой для разработки, математического обоснования пифагорейской «гармоники».

Читаем [1]:

 

4) Соединение тетрахордов приводило к формированию полной совершенной системы в диапазоне двух октав. Она включала в себя 28 звуков и являлась теоретической парадигмой греческой музыки. Центральный звук совершенной системы назывался "меса" ("средняя").

 

Дальнейшее изучение материала показало, что понятие "среднего" проходит через всю теорию музыки древних греков.

Но если есть "среднее", то ... важно, почему оно есть, и почему им занимались?

Значит, это было очень нужно. Знать, где оно, это «среднее». Потому и много путей решений. В тетрахорде, в ладовых конструкциях, в октавах, ...

Вот, что об этом сказал Аристотель² [8]:

 

44. Почему меса³ имеет такое название, хотя восемь не имеет середины? Не потому ли, что в древности в гармонии употреблялся гептахорд, а он имеет середину? И ещё, середина между краями сама является началом (ведь она является (25) новым началом внутри этого интервала, будучи его серединой), а меса является серединой. Но по краям находятся нета и гипата, а между ними помещаются прочие голоса, из коих один, называемый месой, является началом второго тетрахорда, так что справедливо называть его месой. Ведь из того, что лежит между краями, (30) только середина является началом.

 

Позже и Никомах⁴ говорит о «средних» в своем «Руководстве о Гармонике». В Википедии об этом:

 

В гл. 7 излагается интервальная структура диатонической октавы, причём диатонический тетрахорд представлен в виде уникального структурного варианта, без каких-либо оттенков («хрой»; см. Роды мелоса). В гл. 8 (со ссылками на Платона) излагается теория средних, применяемая по отношению к делению ими октавы.

 

Правда, Никомах больше рассматривает математические аспекты этой теории, но если «средние» есть, и они важны со времен пифагорейцев, то это уже серьезно…

В этом случае задача "о крайнем и среднем" получает вполне конкретное наполнение, как часть построения общей теории музыки.

 

Начала Евклида.

Но, пришли другие времена. И другая философия. Уже почти канули в Лету понимания «крайнего и среднего» Пифагором и его учениками…

Евклид⁵ пишет Начала⁶ и включает в них определение о «крайнем и среднем»…, далее трактовки переводчиков расходятся. Но главное уже сказано.

Не совсем верно утверждение, что Евклид был платоником, скорее он проповедовал уже философию Аристотеля. Потому, что именно у Аристотеля мы находим, что:

 

Первично оформленная материя выражена в виде пяти первоэлементов (стихий): воздух, вода, земля, огонь и эфир (небесная субстанция).

 

Это у Аристотеля: «сфера» является наиболее совершенной формой.

Конечно, у истоков этой новой философии стоял Платон⁷.

Из Википедии⁸:

 

Уже со времён пифагорейцев и Платона арифметика, музыка, геометрия и астрономия (т.наз. «математические» науки; позже Боэцием названные квадривием) рассматривались в качестве образца систематического мышления и предварительной ступени для изучения философии. Не случайно возникло предание, согласно которому над входом в платоновскую Академию была помещена надпись «Да не войдёт сюда не знающий геометрии».

 

Значение геометрии в философии Платона стало основным. Это стало пониманием платоновых тел, как основы космологической теории геоцентрического Мироздания. Движение к Сфере.

Но, был еще Сократ⁹. Учитель Платона.

Читаем в Википедии:

 

«…Сократ исследовал нравственные добродетели и первый пытался давать их общие определения (ведь из рассуждавших о природе только Демокрит немного касался этого и некоторым образом дал определения теплого и холодного; а пифагорейцы — раньше его — делали это для немногого, определения чего они сводили к числам, указывая, например, что такое удобный случай, или справедливость, или супружество). …Две вещи можно по справедливости приписывать Сократу — доказательства через наведение и общие определения: и то и другое касается начала знания», — писал Аристотель («Метафизика», XIII, 4).

 

Так что, путь понимания Гармонии Мироздания от Пифагора до Аристотеля был долгим и трудным. От гармонии сфер Пифагора к геоцентризму Аристотеля. Через геометрические представления Платона. И на их основе.

Это и было основой построения Начал Евклида. От простого к сложному, от треугольников к платоновым телам.

Но есть одна странность.

В Началах Евклида все определения и теоремы только с первого взгляда имеют стройность изложения. Последующий анализ построения учения уже не указывает на особую стройность и последовательность.

Наоборот, складывается впечатление, что последовательность и возрастание сложности задач явно не выдерживаются. Задачи о секущих, треугольники, прямоугольники, окружности, секторы и сегменты смешаны в странную смесь.

С другой стороны, Начала Евклида на многие века стали основой изучения геометрии в Европе. Значит, способ изложения материала Начал, был нормой и во времена Евклида, и в последующие века.

Этот способ потом был применен при изложении трактатов по алхимии. Основа показана правильно, а применить её с полным пониманием можно только со знаниями, полученными от учителя. Без учителя геометрия Начал будет неполной, и не приведет к высотам понимания.

Некоторые подтверждения этому мы можем найти … в комментариях Начал [3]. Например, стр.79:

 

Очень характерные обороты тех времен: говорят, утверждают… без указания – кто. Это прямое указание на того, кто знает истину и покажет настоящую дорогу. Читающий прекрасно знал, о ком идет речь…

Вот теперь все встает на свои места.

Начала, как основа философии, устарели, когда ушла в прошлое система передачи знаний алхимиков.

Но остался учебник, хоть и немного запутанный, но дающий реальные знания, лучше, чем другие, аналогичные. Это и объясняет долгую жизнь Начал Евклида.

 

Число Ф в Началах Евклида.

Говорить, что число Ф показано у Евклида очень уж подробно, было бы не совсем верно. Скорее, наоборот. Отрывисто и весьма ограничено. Даже с некоторым показным равнодушием. Ну, есть, известно...

Вот геометрическая задача из какой-то древней книги. Евклид так и привел эту задачу в книге 2 предложение 11, в которой четко просматривается незаконченность или умышленная незавершенность.

Если треугольник уже построен, то можно идти прямой дорогой к числу Ф. Зафиксировать это. Задача дает такую возможность.

Нет, Евклид проходит это и останавливается только на равенстве площадей квадрата и прямоугольника на отрезках деления прямой. Явно вторичная задача, даже для Евклида. Первичную задачу нахождения Ф он уже и не дает. Её решение очень простое, вариант его можно найти, например у Н.Воробьева [4]. Евклид сразу идет дальше.

С другой стороны, наличие такой геометрической задачи в Началах Евклида говорит и о том, что само число Ф представлять уже не надо. Оно хорошо знакомо всем. Его нахождение очевидно и трудностей не вызывает. Нет смысла его даже упоминать.

Далее Евклид «забывает» число Ф на какое-то время.

И только в книге 6 дается определение пропорции. И тоже – вскользь. Но статус определения уже высок, оно в начале книги.

И опять никакого продолжения. До книг 13 и 14 …

Как мы видим, знания о числе Ф разбросаны по всем книгам Начал.

Собрать все воедино можно, только внимательно прочитав весь материал, пользуясь дополнительными указаниями, в философии, изложенной в последних книгах Начал. Это огромный труд, каждому читающему это не осилить.

Лука Пачоли сумел это сделать.

Находим у Щетникова [2]:

 

«Далее ЛУКА излагает различные свойства «божественной пропорции», известные по XIII и XIV книге Начал ЕВКЛИДА. Всего он рассматривает тринадцать таких свойств,…»

 

Такое распределение сведений о числе Ф в Началах говорят о понимании Евклидом системности изложения в то время. Видимо, она понятна и Луке Пачоли.

Даны геометрические понятия, потом данные о пропорции, и уже где-то далеко – свойства. Это уже для «посвященных». Необходимая «секретность» числа Ф соблюдена. По законам передачи знаний того времени.

Надо полагать, что Лука Пачоли правильно прочитал Начала Евклида, понял важность этого числа в философии, как Платона, так и Аристотеля. И в построении платоновых тел. Он совершенно справедливо назвал это число божественной пропорцией, основой космологической теории Мироздания.

 

«Крайнее и среднее…» у Евклида.

Включение в определение 3 книги 6 понятия «крайнего и среднего… » явно не случайно. Хоть и не очень понятно сегодня. Евклид выбрал из большой пифагорейской задачи «о крайнем и среднем» только один вариант, геометрический и математический.

Как раз тот, который не подходил для пифагорейской «музыки сфер». Он «не звучит», в отличие от их известной пропорции 6/8 =9/12.

Евклид показал число Ф и геометрически, и как пропорцию, ввиду уникальности его свойств для геометрических построений по философии Платона и Аристотеля. А название оставил из пифагорейской теории Гармонии.

Почему и зачем?

В Началах мы видим решительный переход от пифагорейского понимания Гармонии к её геометрическому смыслу в философии Платона. От гармонии сфер к платоновым телам, в которых не "среднее" стало главным в гармонии, а геометрическое построение на пределе знаний.

Сами тела стали основой космологической гармонии Мироздания.

Этот переход и подчеркнул Евклид. Как переход от музыкальных пропорций к геометрии. Возможно, это и стало основой названия теоремы, как родства разных философий в формировании этого перехода. Старое название теории пифагорейцев было использовано для обозначения нового понимания «среднего».

Появилось число Ф. Как новое "среднее" новой философии.

Число Ф уже не несло прямой нагрузки «среднего» в понимании пифагорейцев, но оно позволяло последовательно переходить от одного платонова тела к другому, посредством геометрических построений в движении к пониманию Мироздания.

А впереди была – Сфера Аристотеля.

 

Заключение.

Конечно, это только версия. Гипотеза, требующая дальнейшего подтверждения.

Но, согласитесь, интересная.

Число Ф только начинает открывать тайны своей действительной тысячелетней истории. Без «золотого» налета последних веков.

Специалисты вполне научно и доказательно могут эти предположения или опровергнуть или подтвердить.

Я буду только рад этому.

 

 

Примечания:

1Гаммы пятиступенные — древнейшие гаммы без полутонов (каковы древняя китайская и кельтическая [гэлическая, шотландская]), — т.е. мажорная гамма без кварты и септимы или минорная без секунды и сексты…

Яндекс словари. Музыкальный словарь.

2 Аристотель (384 до н. э., Стагир — 322 до н. э., Халкида, остров Эвбея) — древнегреческий философ и учёный. Ученик Платона. С 343 до н. э. — воспитатель Александра Македонского. В 335/4 г. до н. э. основал Ликей (Лицей, или перипатетическую школу) — древнегреческий натуралист классического периода, философ, создатель логики и наиболее влиятельный из диалектиков древности; основоположник формальной логики. Создал понятийный аппарат, который до сих пор пронизывает философский лексикон и сам стиль научного мышления.

Аристотель был первым мыслителем, создавшим всестороннюю систему философии, охватившую все сферы человеческого развития — социологию, философию, политику, логику, физику. Его взгляды на онтологию имели серьёзное влияние на последующее развитие человеческой мысли. Метафизическое учение Аристотеля было принято Фомой Аквинским и развито схоластическим методом. http://ru.wikipedia.org/?oldid=36644156

3Меса — собственно «средняя».

4 Никомах из Герасы, Никомах Герасский (1-я пол. 2 в. н. э.) — древнегреческий философ (представитель неопифагореизма), математик, теоретик музыки. Биографических сведений о Никомахе не сохранилось. Годы жизни Никомаха определяются с учетом хронологии Трасилла (ум. 36 н. э.), которого Никомах цитирует, и Апулея (124—175 н. э.), переводившего Никомаха на латынь. Гераса, в которой жил Никомах,— это современный Джераш на севере Иордании. http://ru.wikipedia.org/?oldid=32115898

5 Евклид или Эвклид (ок. 300 г. до н. э.) — древнегреческий математик. Мировую известность приобрёл благодаря сочинению по основам математики «Начала» (Στοιχεῖα букв. элементы). http://ru.wikipedia.org/?oldid=36379031

6 «Начала» (греч. Στοιχεῖα, лат. Elementa) — главный труд Евклида, написанный около 300 г. до н. э. и посвящённый систематическому построению геометрии. «Начала» — вершина античной геометрии и античной математики вообще, итог её 300-летнего развития и основа для последующих исследований. http://ru.wikipedia.org/?oldid=36223869

7 Платон (428 или 427 до н. э., Афины — 348 или 347 до н. э., там же) — древнегреческий философ, ученик Сократа, учитель Аристотеля.

8 http://ru.wikipedia.org/?oldid=36379031

9 Сократ (ок. 469 г. до н. э., Афины — 399 г. до н. э., там же) — древнегреческий философ, учение которого знаменует поворот в философии — от рассмотрения природы и мира к рассмотрению человека. Его деятельность — поворотный момент античной философии. Своим методом анализа понятий (майевтика, диалектика) и отождествлением добродетели и знания он направил внимание философов на безусловное значение человеческой личности. http://ru.wikipedia.org/?oldid=36900120

 

 

Литература:

1. Бычков Ю.Н. Ладовая система Древней Греции
2. Щетников И., Лука Пачоли и его трактат «О божественной пропорции»
3. Начала Евклида. http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/euclid48-1.htm http://www.math.ru/lib/book/djvu/klassik/euclid49-2.djvu http://www.math.ru/lib/book/djvu/klassik/euclid50-3.djvu
4. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи. М., Наука 1978г.
5. БРАГИHА Л.М. ЛЕОHАРДО ДА ВИHЧИ И ЛУКА ПАЧОЛИ
6. Рыбников К. Русские издания «Начал» Евклида. Успехи математических наук, 1941, № 9, стр. 318—321.
7. Мордухай-Болтовский Д.Д. Из истории метода наложения в элементарной геометрии, 1928 г.
8. А. И. ЩЕТНИКОВ перевод CORPUS ARISTOTELICUM. Музыкальные проблемы. Пифагорейская гармония: исследования и тексты. Новосибирск: АНТ, 2005, с. 66–80 (ок. 300К).
9. А. И. ЩЕТНИКОВ Развитие учения о музыкальной гармонии от Пифагора до Архита.

 

Никитин А.В., О «крайнем и среднем…» // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.16772, 21.08.2011