Никитин А.В.

Математика счетной логики

Любая предлагаемая система математической логики должна опираться на математику. Только, какую? Д.Буль разрабатывая свою математическую логику вкладывал в нее одну математику, а какая в ней заложена сейчас?

Математика логики не очень зависит от конкретного технического исполнения логических схем, синхронности проведения операций и других технологических факторов. В это смысле она абстрактна.

В статье [2] изложены самые первые логические обоснования предлагаемой системы без математических основ. На тот момент математики предлагаемой мною логики еще не было. Были какие-то мозаичные соображения.

Только сейчас, наконец-то, сформировалась какая-то система. Она и сейчас еще находится в процессе развития. Но, начало математики появилось.

В этой работе изложена математика основных логических операций. В некоторых моментах она повторяет и дополняет материал, изложенный в статье [2].

Получился какой-то симбиоз Булевой логики, и … многозначной надстройки.

Мне и самому пока не очень понятно, куда это приведет…

Логические и математические основы.

Сформулируем начальные правила формирования системы счетной логики:

• Все логические состояния системы должны быть неотрицательными и взаимно противоположны.
• Все логические ответы системы должны быть равносильными и равновероятными.
• Все логические ответы системы должны входить в состав логических состояний системы.
• В результат решения логической задачи входит только один логический ответ.
• Математическое отображение логических состояний — бинарная запись.

Правила формирования логической системы насколько очевидны, настолько же трудно выполнимы.

Логическое пространство.

Что это такое – логическое пространство?

Это место, где решаются логические задачи. И средства, применяемые для их решения. Электронные схемы и программы. А, в общем, и то, и другое, и третье… — все, что необходимо для получения решения. Многоплановое понятие, включающее много компонентов.

Логическое пространство объединяет задача.

Для ее решения необходимы:

• Хоть какие-то общие понятия, формализованные и связанные между собой общими признаками, не требующими объяснений – логическими связями.
• Система отображения, как понятий, так и связей. Что с чем связываем и как…
• Какая-то система сравнения понятий и связей для определения критериев их применения и степени влияния.
• Цель. Что мы хотим получить в результате?
• Все это надо запомнить…
• Место или пространство, где мы все это будем делать.

Вроде бы все основное есть. С этого начинается логическое пространство. Пока понятий и связей мало, все, кажется просто. Сложности появляются по мере развития. Тут все взаимосвязано. Новые цели требуют решения новых задач по их достижению, это требует увеличения количества понятий и связей, их систематизации и запоминания. Для этого нужно увеличение пространства хранения и проведения решений. И пошло, поехало…, и, кажется, нет этому конца.

Но, бесконечность развития призрачна. Все, хоть чем-то, но ограничено. И ограничения начинают препятствовать росту. В результате, ограниченным оказывается все. Пространство, время, память,… а решать задачи надо. Жизнь требует. Цели множатся. И задачи становятся все сложнее. Для их решения необходимо постоянно наращивать логическое пространство.

В ход идут все средства. Понятия и их связи все больше формализуются и систематизируются. Прошлые решения, хранящиеся в памяти, перепроверяются и переоцениваются, также систематизируются и группируются. Надо экономить пространство памяти. И саму память неплохо бы организовать и систематизировать, это позволяет сэкономить время на поиск.

О технической стороне этого пространства думать приходится постоянно. Все это логическое пространство функционирует на основе вполне конкретных конструкций. И не важно, «железо» это или живые клетки, это материальное воплощение механизма логики. Механизм требует материалов для строительства и поддержания его работоспособности, необходимой модернизации и развития. И места для его размещения. Реального физического объема.

Решение внутренних проблем поддержания, модернизации и дальнейшего расширения внутреннего логического пространства становится постоянной задачей для размещаемой в этом пространстве логической системы. В какой-то момент сложность и важность внутренних задач становится сопоставимой с внешними.

Этот момент наступает когда-нибудь при любой системе организации логического пространства. Рано или поздно. Но, лучше бы поздно. И чем позднее он наступит, тем лучше. Логическая система успеет развиться до более высокого уровня.

Вот когда проявляются стратегические начальные принципы организации системы, те, что мы заложили в самом начале ее развития.

Бинарная запись.

Как мне кажется, самым главным событием в области машинной математики 20 века было применение в системах автоматических вычислений бинарной записи. Несмотря на все остальные выдающиеся достижения.

Это событие стало началом нового пути развития вычислительной техники. Бинарная запись закрепила применение двоичной системы в качестве основной в системах автоматических вычислений. Я не знаю, что было вначале, доработка Булевой логики под систему бинарной записи с целью совмещения ее основ с двоичной системой счисления или события разворачивались в другом порядке, но победу одержала бинарная запись. Она стала нерушимым основанием вычислительной техники.

Вдруг оказалось, что бинарная форма записи числа имеет очень мощную философскую аргументацию. Настолько мощную, что не смотря на обнаруженные недостатки двоичной системы и Булевой логики все попытки отказаться от бинарной записи стали очевидно напрасными.

Бинарная запись, это предельная простота числа. Не надо определять количество разрядных единиц в разряде, достаточно просто зафиксировать, что там что-то есть. Это замена счета простой регистрацией изменения состояния разряда. Вычисления совместились с логическими операциями. На уровне граничных условий — 0 и 1.

Да, в каком-то смысле, это противоположные значения, отражающие состояние разряда. Это понимание сразу связало бинарную запись с философским пониманием дилеммы выбора противоположностей: ДА – НЕТ, правда – ложь, тепло — холодно, верх – низ, вперед – назад, … и т.д. Список бесконечен.

Бинарная запись из всех рациональных систем счисления возможна только в двоичной системе. Все остальные системы с любым рациональным основанием требуют отказа от бинарной записи.

Даже введение счетного значения (-1), это уже третье состояние разряда, а значит и отказ от бинарной записи. И любые аргументы в пользу троичной и любой другой счетной системы для принятия ее в качестве основной в системах автоматических вычислений рассыпаются в прах. Бинарная запись побеждает. Именно она, а не двоичная система.

Каждый, кто обнаруживает те или иные недостатки в двоичной системе, старается найти и «противоядие» в виде другой счетной системы. И, кажется, что надо только получше объяснить достоинства найденной системы, и все поймут, что двоичную систему просто необходимо срочно менять. Надо только объяснить и надежно аргументировать, и поймут,… но их почему-то упорно не понимают. Уже полвека.

Мне кажется, что в этом «виновата» бинарная запись. Все и всё понимают, но … отказаться от простоты и очевидности бинарной записи, начать все сначала, ради чего? Чтобы вместо одних уже известных недостатков одной системы получить новые неизвестные пока недостатки другой? Срабатывает правило: Бесплатный сыр – только в мышеловке. Зачем рисковать? Проще, чем есть, все равно уже не придумаешь. А все усложнения оборачиваются когда-нибудь новыми проблемами.

Под надежной защитой бинарной записи оказалась неуязвимой двоичная система счисления. И Булева логика, не самая логичная — тоже.

Но, попытки сломить сопротивление бинарной записи продолжаются с завидным упорством и постоянством.

Наступление обычно идет с двух сторон. Со стороны вычислительной математики и со стороны математической логики. Со стороны математики предлагаются новые счетные системы, в основном рациональные — троичные. Или иррациональные, где, в силу иррациональности основания, число имеет зависимость соседних разрядов. Это резко повышает надежность и достоверность передачи и хранения информации. И, немаловажное качество чисел с основанием больше, чем 2, на которое математики сразу обращают внимание – увеличение разрядной емкости. То же количество единиц в этих системах требует меньше разрядов для записи числа. Числа получаются компактнее. Всё так. Но, … бинарная запись перевешивает все аргументы. И прошлые, и будущие.

Со стороны математической логики все сложнее. Логический аппарат математической логики растет. Он давно вырос из бинарной записи. И вроде бы, еще шаг, и … придет, наконец, многозначная логика. Все давно готовы к ее появлению.

Нет, бинарная запись и здесь пока прочно удерживает свои позиции. Булева логика практически «слилась» с двоичной математикой. И союз этот пока нерушим.

В связи с этим у меня уже достаточно давно зародилось сомнение в необходимости борьбы с бинарной записью. Пусть будет. Я стал внимательно присматриваться к ее сегодняшнему применению. В ней много хорошего, может быть только, слишком уж формально и ограниченно мы ее применяем, а так, больше и нет недостатков…

И двоичная система, это вполне удобная рациональная система, легкая и доступная. Позволяет проводить все математические действия в обычном порядке, не требует особенного подхода, и предельно проста в отображении и формировании чисел. Видимо, вопрос не в системе, а в направленности ее применения. Для вычислений она годится не хуже остальных. Хранить и передавать – не очень, но можно для этих целей какую-то иррациональную систему приспособить. Оставив при этом для чисел бинарную запись. Просто и надежно.

Нет, не так просто, и не надежно. В составе одного компьютера это — бесконечные преобразования. Для однопроцессорного аппарата – роскошь, кажется, неоправданная. А вот, для многопроцессорных систем – почему бы и нет?

Но, это для вычислительной техники, а для логики, применяемой в этой технике, такого компромисса пока не нашлось. Тут, как мне кажется, все же что-то надо менять…

Основы классических систем математической логики.

Булева логика.

Булева логика имеет два логических состояния: 0(НЕТ); 1(ДА).

Единицей информации является бит, имеющий одно знакоместо для отображения логического состояния, и системный байт, состоящий из 4 битов. Байт, как системный идентификатор адреса или операции еще сохраняет свое значение, а вот бит уже давно стал только единицей измерения информации, содержащейся в машинном слове. Длина этого слова все время увеличивается. Еще недавно она приближалась к 128 битам, но, сегодня и 256 бит или 64 байта в слове уже не предел.

Булева логика стала первичной основой вычислительной техники, в силу своего «ключевого» характера. В ее основе был выключатель. Включено – выключено, и ничего другого. Выключатель или замыкает цепь, или размыкает. Полярность питания значения не имеет. Цифры 0 и 1 подходят для фиксации этих состояний как нельзя лучше.

Троичная логика.

Троичную логику для использования в вычислительной технике предложил использовать Н.П.Брусенцов. [4,5,6] В его машине «Сетунь» использована симметричная троичная логика с логическими состояниями +1(ДА); -1(НЕТ); 0(НЕ ЗНАЮ). Единицей информации назван трит, который содержит одно знакоместо для фиксации логических состояний: -1;0;+1; И системный трайт, содержащий 6 тритов.

Троичная логика вынуждена учитывать не только состояние цепи, но и полярность питания. Иначе трех различных состояний не получить. В основе троичной логики – переключатель. Вверх, вниз, и нейтральное, среднее положение.

К моменту начала применения троичной логики техника уже стала широко использовать ключевой режим Булевой логики и других вариантов даже не пыталась применить. Потребовалось достаточно много времени для разработки своей технической базы и время было упущено, несмотря на, кажется, очевидные преимущества троичной логики по сравнению с Булевой. Но, очевидны ли преимущества?

Они бесспорны в отношении потенциального развития, как аппарата самой математической логики, так и применения ее для математических вычислений. Но, вот с технической стороны это не так очевидно. Второй источник питания, разнополярные импульсы и особая электронная техника для их обработки резко усложняют задачу применения троичной логики.

Лучшее – враг хорошего. Троичная логика, еще и не проявившая своих лучших качеств, сразу встретила жесточайший отпор. Как раз по этой причине. Зачем менять то, к чему уже привыкли? Есть один источник питания для всех логических схем и – достаточно. Еще один источник питания, это не только новая логика, но и новая техника. И не только…

В этом случае надо поменять не только технику, но, и людей, привыкших к этой логике, и философию, и большую часть программных наработок, и т.д. и т.п. Полвека назад троичная логика, при всех ее достоинствах, сражение проиграла. Но и Булева логика с того времени лучше не стала. Сейчас для Булевой логики ситуация еще более драматична. Ее недостатки проявились во всей красе.

Но, несмотря ни на что, Булева логика продолжает пока удерживать монополию в цифровой технике. Сегодня ей все труднее сохранять свои позиции.

Сейчас в цифровой технике уже происходит определенное разделение труда. Компьютерные системы уже так разошлись в разных направлениях применения, что стали отдельными и узко специализированными системами. По архитектуре, применяемой технической базе, программному обеспечению это уже разные устройства, объединенные только каналами передачи информации с общими стандартами. И двоичной системой счета, да Булевой логикой.

Возможно, что и настал момент истины для Компьютера?

И снова нужен выбор основ для дальнейшего развития. На горизонте все чаще маячит троичная логика. Она уже не кажется невозможным решением сегодняшних проблем цифровой техники.

«…Рассмотрено два варианта построения троичных элементов:

· Однопроводный с электрическими сигналами трех уровней (+Е, 0, -Е).

· Двухпроводный с электрическими сигналами двух уровней (Е, 0) и кодированием троичных значений, например 01 – «+1», 00 – «0» и 10 – «-1». Четвертое состояние «11» либо блокируется, либо используется в целях обеспечения безопасности или достоверности информации – этой проблемой заинтересовался академик Амербаев В.М., математик. « [7]

Вот почему автор этой цитаты Д.Б.Малашевич рассматривает и другой вариант использования троичной логики. Так как в построении логических элементах используется Булева логика, то почему бы и не принять, что в трите два знакоместа. Это необходимо для отображения всех логических состояний в неотрицательном виде.

Очень близко к рассматриваемому вопросу, надо сказать…

Возможно ли объединение систем?

Давайте, рассмотрим логическую систему с минимально допустимым количеством логических состояний и максимально возможным количеством логических ответов на уровне регистрации предельных граничных состояний. Т.е. четко различимых на уровне пороговой регистрации наличия или отсутствия этого ответа.

Минимально возможное количество логических состояний на уровне пороговой регистрации с технической стороны ограничивает количество источников питания и, соответственно, регистрируемых потенциалов до одного. Это требование и обеспечивает Булева логика.

А сколько логических ответов, вообще, можно получить при этих ограничениях?

Наиболее полную картину дает регистрация информационного импульса по фазе следования относительно пилот-сигнала, стробирующего, тактового или синхроимпульса. Различие названий определяется применением этого метода в разных направлениях электронной техники и систем связи. Но смысл одинаков. Это время и факт появления импульса по отношению к контрольному сроку.

Если информационный импульс опережает – (+), отстает – (-), совпадает — |1|, отсутствует – (0). Полярность импульса значения не имеет, так как мы ограничены одним источником питания и, соответственно одним потенциалом для регистрации. Все состояния технически четко различимы.

В глобальности логических состояний такой ключевой режим регистрации должен соблюдаться.

Пассивное логическое состояние – 0.

Активное логическое состояние – наличие информационного импульса в пункте приема.

(+);(-);1; — варианты логических ответов в пределах активного состояния.

Возможно ли объединение Булевой и троичной логики в какую-то подобную единую систему?

Этот вопрос возник у меня, когда я, в который уж раз смотрел на математические эквиваленты записи логических состояний Булевой и троичной логики. Уж очень близко их обозначения и исходят они от одного и того же – потенциала источника питания…

Это странно, но, если мы объедим логические состояния Булевой и троичной логики, то получим точно такую же логическую систему. У них много общего.

Вот их логические состояния: 0,1 и -1,0,+1. Объединим их и …, что получим?

0,1,-1,+1, если состояние 0 одинаково.

Где-то мы уже видели нечто подобное, … не правда ли? Только с другими условиями фиксации. В данном случае мы уже не говорим о времени, фазах и синхронизации, мы говорим о формальных различиях для математической интерпретации. Есть формально различимые логические состояния. Чем они различаются, мы постараемся понять позже. Пока мы лишь отметим совпадение технических характеристик пороговой фиксации фазы информационного импульса и результата объединения логических систем Булевой и троичной логики.

Теперь попробуем дать первое объяснение каждому состоянию с новых позиций.

В них можно выделить начальное состояние ожидания действий (0). И три активных единичных состояния. Мы можем дать им значения соответствующих логических ответов: ДА, НЕТ, и НЕ ЗНАЮ.

Все состояния оказались формально различимы, как математически, так и технически. Кроме, может быть, состояния |1|.

Если все логические состояния, как это понимается сегодня, имеют статус глобальной величины, то с технической стороны состояние |1| имеет двойственное понимание. Или мы принимаем импульс любой полярности, или – сразу двух, чтобы отличить его от однополярных импульсов. Если любой, то, как он будет отличаться от остальных активных состояний? А если сразу двухполярный импульс, то это – как?

Двухполяный импульс технически возможен. Было бы, чем его регистрировать. Это импульс от дифференцирующей цепи. Прямоугольный импульс, проходя через такую цепь, теряет постоянную составляющую наполнения импульса и превращается в две серии остроконечных импульсов. Причем, первая пара импульсов каждой из серий часто превышает по амплитуде напряжение питания и составляет разнополярную пару с резким перепадом потенциала. При этом полярность первого импульса в серии зависит от перепада потенциала начального прямоугольного импульса. От начала прямоугольного импульса получается одна полярность первого в серии выходных импульсов, от окончания – другая. Остальные импульсы серии имеют существенно меньшую затухающую амплитуду.

Это реактивная составляющая прямоугольного импульса, выделяемая на дифференцирующей цепи. Её, то применяют, то борются с ней, как с помехой в работе устройства.

Так что, вариант возможен. И зарегистрировать такой импульс или перепад потенциалов технической трудности не представляет. Только, может быть, не совсем это удобно. А вот получать разнополярные информационные импульсы таким способом – вполне. Но, при этом сразу возникают проблемы с синхронизацией работы схемы, и еще масса других вопросов.

Это уже пройденный не единожды этап, ведущий пока – в Никуда.

Как я уже говорил, логический ответ имеет, в основном, локальное значение. Как Результат в Ответе логической операции. И лучше рассматривать его как локальную переменную в Результате.

Результат.

Давайте вспомним формулу:

В этой формуле Результат, величина, соотносящаяся и с Эквивалентом, и

с Выражением, так как они имеют взаимную эквивалентность. Как на рис.1.

Рис..1. Схема связей Результат – ответ – решение.

Эквивалент в нашей формуле, это логический Ответ, получаемый из логического Выражения — Решения задачи.

Таким образом, Результатом Решения логической задачи становится один из Эквивалентов – Ответов задачи.

Перепишем формулу еще раз в сокращенном виде:

Теперь рассмотрим данное выражение через создание пар противоположностей.

Противоположность мы будем обозначать чертой над символом -

Отметим, что, в общем случае, противоположность не является отрицательной величиной, а противоположной. Для продолжения рассмотрения вопроса нам придется принять такое равенство:

Величина равна своей противоположности, взятой по абсолютной величине.

где

Для равенства: Решение = Р, наличие равносильности Решения и Результата может быть только в одном случае: Решение существует и его Ответ является Результатом этого Решения.

Для выражения Решение Р, есть не менее двух вариантов перехода к равенству эквивалентов:

Для равенства = Р:

Действительным Результатом задачи является отсутствие Решения.

Заметим при этом, что отсутствие Решения эквивалентно отсутствию Ответа.

Для равенства Решение =:

Действительным Решением может считаться только вариант отсутствия Результата.

Так как вариантом Результата может быть любой Ответ, то отсутствие Результата означает отсутствие любого логического Ответа, принятого в системе.

При этих условиях для логической системы оба равенства можно объединить в систему справедливых равенств только в одном случае:

Где 0 может интерпретироваться только как отсутствие Ответа в Результате или — Ожидание Результата. Включим этот вывод в формулу эквивалентности Результата:

При такой интерпретации равенств (10) состояние 0 является одним из логических состояний, выражающее ожидание Ответа.

Теперь возьмем вторую пару эквивалентов из (5):

Ее также можно рассмотреть с позиций противоположностей:

Первое равенство можно рассматривать, как утверждение, что любой логический Ответ является Результатом решения.

Неравенство утверждает, что, если состояние Э не может быть Результатом решения, но существует в системе в качестве эквивалента, то оно не является Ответом.

Проверим это:

Неравенство можно преобразовать в равенство через введение противоположности:

Одновременное выполнение этих равенств возможно только в случае:

Это и означает, что, состояние 0 не является ни Ответом системы, ни ее Результатом, являясь при этом одним из логических состояний системы.

Нам осталось рассмотреть эквивалентность:

Решение Э

Это несколько вариантов перехода к математическим равенствам:

Первое равенство утверждает, при действительности Решения все Эквиваленты Ответа существуют и равенство сохраняется.

Второе равенство утверждает, что при переходе Решения в свою противоположность в качестве эквивалента может существовать только противоположность Эквивалента Ответа. Их отсутствие.

Третье равенство устанавливает одинаковый математический вес противоположностей.

Четвертое равенство утверждает, что действительное решение может привести к противоположности Ответа — отсутствию Ответа. И эквивалентность, и равенство при этом сохраняются.

Последнее равенство утверждает, что Эквивалент будет существовать при отсутствии Решения.

В этих утверждениях есть несколько противоречий. Для разрешения этих противоречий необходимо перегруппировать равенства:

В первой группе равенств при выполнении условия, что Э = Ответ возможно только одно общее решение:

При равносильности всех логических ответов системы и одном математическом весе всех ответов равном 1 равенства существуют.

Вторая группа равенств дает также единственное решение для существования системы равенств:

Такое решение системы равенств приводит к равенству сравниваемых величин и их противоположностей. Это возможно только при отсутствии и того и другого.

0 противоположности не имеет. Мы уже находили это решение.

Логическое состояние 0 может существовать в процессе Решения, но Ответом не является. Эквивалент 0, вместо логического Ответа, может существовать, но Результатом не является. 0 — это устойчивое логическое состояние системы, не являющееся Ответом системы.

Локальные ответы и глобальные логические состояния.

Как мы уже выяснили логические состояния – основа любой базовой компьютерной логики, это электрические потенциалы примененных источников питания, появляющиеся в установившихся режимах на выходах электронных логических элементов. Как их не обозначай и не называй. В Булевой логике таких состояний — два, в троичной – три.

0 или 1, -1 или 0 или +1, соответственно. Вроде бы и та и другая логика использует бинарную запись, но – нет. Знаки (+) и (-) бинарной записью не предусмотрены.

Как называется состояние, которое возникает сразу после включения схемы, когда никаких действий еще не производилось? Еще нет логических операций и нет их результатов в виде каких-то логических состояний. Это состояние не вызывает никаких действий или других изменений. Что это?

Ни в Булевой, ни в троичной логике этому логическому состоянию нет отдельного названия. Если мы оцениваем его по состоянию информационных входов логических элементов, то это состояние совпадает с состоянием 0. Дальнейшие же действия предполагает только состояние 1. С любой полярностью.

С этих позиций можно условно разделить логические состояния системы на активные (1) и пассивное состояние ожидания действий — (0).

В Булевой логике одно активное состояние, а в троичной – два. Они, в конечном итоге и определяют возможности системы.

Но, это скорее теоретическое деление, в реальности все сложнее. От недостатка логических состояний системы и состоянию 0 нашли достаточное действенное применение. В электрических схемах все состояния относительны.

Как надо понимать все эти ДА, НЕТ, НЕ ЗНАЮ при решении задачи? Как написано, или в контексте задачи? Любой иностранец, наверное, чокнется при переводе такого простейшего диалога:

-Чаю хочешь?

-Да нет, наверное…

Мы же, не задумываясь, определим, что основное в ответе — НЕТ. Оказывается, что контекстное, локальное значение логического ответа почти всегда важнее его формального понимания. Так ли нам необходимо глобальное формальное различие логических состояний, как логических ответов системы, например, на уровне полярности источника питания?

Возможно, что вполне достаточным будет их различие только в пределах логической операции?

Что действительно требует глобального определения, так это состояние (0). Отсутствие всякого присутствия…, ждем-с. Начальное состояние ожидания или просто, ждущий режим. Все остальные, кстати, активные логические состояния (вот это и есть их глобальное определение), вполне могут иметь лишь локальные различия. ДА, НЕТ, НЕ ЗНАЮ, в конце концов…, так они называются в пределах логической операции. А вне ее –только единичные импульсы или потенциалы. Независимо от бывших различий.

Ситуация не такая уж заумная. И вполне разрешимая. Как математически, так и технически.

А пока, глобальные логические состояния можно разделить на два класса:

• Пассивные – 0, как состояние ожидания.
• Активные – 1 во всех вариантах отображения логического ответа.

Пассивное состояние у нас пока одно, начальное. Когда никаких действий еще не производилось, или это состояние введено, как прерывание. В последнем случае оно может отображать только состояние входов логической схемы любого уровня, независимо от остальных ее внутренних состояний.

Активные логические состояния отражают все логические ответы той или иной логической системы. В этом случае Булева логика имеет одно такое состояние, а принятая троичная логика – два.

В связи с вышесказанным возникает некоторое противоречие. Состояние 0, это логическое состояние, которое не должно быть логическим ответом системы. Все логические ответы системы должны описываться только активными логическими состояниями. Только так можно надежно отделить начальное состояние или введенное прерывание работы логической системы от состояния неопределенного, но разрешенного системой логического ответа, полученного в результате решения задачи.

Таким образом, активные логические состояния определяют все логические ответы системы.

И как следствие из этого – логические ответы системы локальны. Они различны только в пределах Результата решения одной операции или задачи.

На любом другом уровне это лишь информационный импульс. Как наличие Результата после проведения логической операции.

Такое понимание логического состояния и логического ответа в корне отличается от принятого сегодня в математической и электронной логике. Сегодня нет различий между логическими состояниями и логическими ответами. И в Булевой, и в троичной логике это – одно и то же.

Разделение понятий глобальных логических состояний и локальных логических ответов дает возможность посмотреть на математическую логику с другой стороны.

Логический ответ и логическое состояние, это не одно и то же.

Логическое состояние не всегда может быть логическим ответом системы, но любой логический ответ является одним из логических состояний системы.

Начнем мы с логических ответов системы. Минимальный состав логических ответов нам знаком еще со времен греческой софистики, это — ДА и НЕТ.

Рассмотрим эти ответы с точки зрения логики, математики и условий бинарной записи.

Главное условие системы: Ни логические ответы, ни их противоположности не должны быть равными. Установим это условие через неравенства:

А так выглядит взаимная противоположность логических ответов:

Такая запись противоположности говорит, что логическая противоположность еще не означает их однозначной математической противоположности.

Отрицательности может и не быть. Это мы уже знаем.

С другой стороны, и каждый логический ответ имеет свою противоположность:

Это выражается в математическом равенстве величины ответа и абсолютной величины противоположности этого ответа.

Вводим условие неотрицательности ответов:

Равносильность логических ответов можно выразить через равенство их абсолютных величин:

Бинарная запись, являющаяся пока единственным математическим аналогом логического ответа оставляет нам только один вариант, подтверждающий математическую справедливость выражений:

Отсюда:

Математический эквивалент логических ответов оказывается одинаковым, но это противоречит условию их неравенства.

Это противоречие можно преодолеть введение понятия направления действия. Логические ответы имеют одинаковый вес по абсолютной величине, но различное направление действия, являясь при этом взаимно противоположными величинами и не имея однозначной математической отрицательности.

Вводим направление действия логического ответа:

Введением этого параметра мы сохраняем равный абсолютный вес величины математического эквивалента 1 вместе с сохранением взаимной противоположности действенных логических ответов системы.

Этим действием мы ввели пространственную координату в математику логики.

Логические ответы получили противоположную направленность при сохранении положительного математического весового эквивалента.

На этом можно было бы и закончить определение логических ответов и логических состояний системы, если бы не одно «но,»… самым распространенным ответом в наших рассуждениях является логический ответ – НЕ ЗНАЮ.

С одной стороны, это логическая неопределенность. А с другой – равенство аргументов ДА и НЕТ в Результате решения. Или их недостаточность для четкого выбора определенного действенного ответа.

В конце концов, количество НЕ ЗНАЮ в решении задачи определяет достоверность появления ДА или НЕТ в Результате. Если НЕ ЗНАЮ появилось многократно, то любой из ответов ДА или НЕТ в Результате уже не может быть признан абсолютно достоверным.

Мы введем этот логический ответ в нашу систему:

Его математический эквивалент, естественно будет:

И в то же время, неопределенный ответ (Х) не является определенным логическим ответам, т.к. не имеет направления действия:

Прямую противоположность здесь ввести трудно. Но, на основании формул (25,26, 29, 30) можно установить, что:

И логический ответ НЕ ЗНАЮ можно получить из ДА и НЕТ.

Например, так:

С точки зрения математики это эквивалентно только одному выражению:

Так как абсолютная величина всех логических ответов одинакова и равна 1.

С другой стороны, ответ НЕ ЗНАЮ — сумма аргументов, т.е. ДА и НЕТ, и для него должно быть справедливым выражение:

И, соответственно:

Утверждения (34) и (35) согласуются с ответом, получаемым в утверждении (32).

Операция дизъюнкции в Булевой логике имеет альтернативный характер по отношению к конъюнкции. В то же время эти операции очень взаимосвязаны.

Если в электронной схеме «И» изменить подключение к общему «0» с одного вывода питания на другой не меняя полярности питания, то мы получим «ИЛИ», и наоборот.

Для математики такой давно известный в электронике «электрический фокус» означает изменение умножения на сложение и обратно для одной и той же электронной схемы, в зависимости от изменения условий ее работы.

Это отражено и математике Булевой логики:

Формально, верный для Булевой логики вариант равенства. Вынужденное равенство.

Это же равенство можно использовать в интересном примере.

Можно предложить математические эквиваленты однопозиционным логическим ответам счетной логики, как 1 с разными показателями степени. Мы применяем единичную систему счисления [1]. Отсутствие логического ответа, логическое состояние 0, так и будет -0.

Таблица 1.

Определение математических эквивалентов логических ответов в таком виде направлено на получение единой системы определения, в основе которой математика Булевой логики и бинарная запись.

Обратим внимание на показатели степени в операции умножения по формуле (32) в предложенных эквивалентах. Нас интересует результат, полученный при операции с показателями степени единичных оснований наших логических ответов. Они отражают условия получения результата в формулах (34, 35):

При этом, естественно, как основная операция, выполняется умножение (32).

Для нахождения эквивалентности результата формулы (34) и формулы (32).необходимо преобразовать умножение (32) в сумму логарифмов:

Сложение показателей степени отражает вариант взаимодействия логических ДА, НЕТ, НЕ ЗНАЮ в операции конъюнкции по законам математики и в то же время показывает относительность математической интерпретации логических операций. Мы же помним: 11 = 1+1, вынужденное равенство Булевой логики.

Мы можем заменить умножение сложением степеней эквивалентов логических состояний и придем к тому же результату. Лишь бы были и А, и В. Формула (34) как раз и отражает такой результат.

В каком-то смысле, показатели степени математических эквивалентов логических ответов вводят в логику и вариант логических состояний симметричной троичной логики. С той лишь разницей, что действие этих состояний распространяется только на локальную область проведения логической операции.

И все они – неотрицательны. Так как мы складываем и вычитаем показатели степени математических эквивалентов логических ответов, а не сами эквиваленты. Все логические ответы имеют один абсолютный вес — 1.

Но, вернемся снова к рассмотрению логического ответа (Х).

Таким образом, мы пришли к логической неопределенности:

Она отражает двойственность понимания этого логического ответа.

С одной стороны, это логический ответ системы, а с другой, он не отражает конкретности выбора, и потому, не может быть определенным и действенным логическим ответом системы. Для получения конкретности в выборе между действенными ДА и НЕТ не хватает аргументов.

С этой точки зрения логический ответ Х можно определить как ОЖИДАНИЕ.

Система ждет дополнительных действенных аргументов для выбора конкретного действенного ответа.

Логический 0 вполне может перейти и в математический 0.

Это логическое состояние в системе, действительно не являющееся логическим ответом.

Это логическое состояние системы не является и результатом решения задачи. Единственно возможное его обоснование:

Режим ОЖИДАНИЕ, таким образом, стал логическим состоянием системы. Это, ОЖИДАНИЕ ответа.

Состояния НЕТ ОТВЕТА и НЕ ЗНАЮ объединяет ОЖИДАНИЕ. В этом их сходство. И различие. Это не только различные, но и противоположные логические состояния. Одно пассивное, а другое – активное.

Много…

Это понятие, введенное в счетную логику, имеет два понимания: математическое и логическое.

Математическое понимание этого понятия ограничивает количественную оценку группы за пределом счетной единицы. Все что больше единицы – много.

И вроде бы, все, говорить больше не о чем…
Но, это входит в некоторое противоречие с математикой. Например:

Мы не вышли за пределы бинарной записи, а результат разрядного сложения показать не можем.

Давайте посмотрим взаимосвязи количественных оценок счетной логики на рис.2.

Рис.2 Взаимосвязи количественных оценок.

Порядок получения всех чисел системы определен математикой. Непонятно, как оформить математическое выражение МНОГО?

Давайте, пока примем такой вариант:

Для однозначности принимаем:

Такой же вариант в свое время был применен в Булевой логике. Как раз для сохранения бинарной записи и единичности Результата.

Правда, есть еще один вариант записи числа МНОГО.

Вот такой:

Он отражает не количественную характеристику, а качественную. После проведения операции сложения (1+1 =) в ячейке отражения Результата действительно будет 0. Возникшее в ней переполнение переведет единичный результат сложения в другую ячейку, за пределы этой позиции. Так в Булевой логике, например, описывается операция xor — исключающее ИЛИ. Но, с точки зрения математики, это и есть – Много.

Таким образом, контекстное многообразие отображения результата МНОГО вполне объяснимо. В записи результата нужное нам значение мы показываем как основное, без скобок, а остаток действительного результата прячем за скобки. И всем все понятно…

Основы математики Булевой логики.

Счет в системе ограничен числами 0, 1, много. В этом случае вся математика системы умещается в несколько строк:

Таблица 2.

Основными математическими действиями системы являются разрядные операции. Для устранения математических неопределенностей в этой математике приняты соглашения, например, для операций деления: 1:0=1; 0:0=0

А так же, есть вариации для определения понятия МНОГО, как результата, выходящего за рамки разряда. Есть два различных понимания. МНОГО = 1, и МНОГО = 0. Мы это уже выясняли.

В Булевой логике применяется неотрицательная математика. Это условие применения бинарной записи. В ее логических ответах не может быть отрицательных величин. Это и определяет расхождение результатов вычисления ее операций от результата, получаемого классической математикой.

Что не означает невозможность применения отрицательных чисел. Их не может быть в логических ответах.

Вот такая математика.

Кстати, один каверзный вопрос: Какая система счисления работает в математике Булевой логики?

Ответ не такой простой, как кажется.

Булева логика оперирует цифрами 0 и 1. Все действия выполняются в пределах одного разряда. Для этой математики пригодна система счисления с любым рациональным основанием. Любая, в которой счетная единица является и единицей системы. А не только двоичная, как мы привыкли думать.

В этом смысле Булева логика универсальна. Ее математика и получаемые результаты будут одинаковы во всех рациональных системах.

Кроме операций введенных для ее согласования с основной вычислительной системой компьютера – двоичной. Например, как xor – исключающее ИЛИ, которая была введена только для этого.

Универсальность математического аппарата Булевой логики мы обязательно используем.

Математика многопозиционных логических ответов.

Вот теперь можно рассмотреть многопозиционный логический ответ. Мной он был предложен в [1]. Там же есть и первые обоснования для его введения.

Я начал рассмотрение вопроса многопозиционности логического ответа для изучения возможности применения в многозначной логике бинарной записи. Бинарная запись автоматически предполагает неотрицательность логического ответа.

Бинарная запись предполагает наличие отображение одного активного логического состояния 1, и одного пассивного – 0, на одной позиции отображения. Знакоместо или позиция отображения минимальной логической информации в Булевой логике получила название — бит.

Это, например, и один разряд двоичного числа, и одна цифра в числовой последовательности, и … в общем, одно знакоместо для записи цифр 0 или 1. Никаких других цифр и знаков такая запись не предполагает.

Бит – единица информации Булевой логики. Для нее этого достаточно, так логических состояний всего два.

Любая другая логика оперирует уже другим количеством логических состояний и логических ответов. Если для отображения этих состояний используется все та же бинарная запись, то для получения однозначности отображения состояния Ответа необходимо расширять его значность, или вводить необходимую многопозиционность логического ответа.

Для отображения всех логических состояний троичной логики необходимо 3 состояния: ДА(+1), НЕТ(-1), НЕ ЗНАЮ(0). Если мы пошли по пути увеличения позиционности отражения логического состояния, то сразу возникает разнообразие путей решения этой задачи.

Можно пойти по пути выделения для каждого логического ответа по одной позиции из общего ответа. И тогда ответ будет трехпозиционным — 000.

Например, троичные состояния могут выглядеть так:

А, как и что будут означать остальные 5 состояний трехразрядного ответа? Избыточность такого отображения очевидна. Такую логику троичной уже не назовешь, это уже восьмиричная логика. Именно столько различных логических состояний она предполагает.

Можно пойти по пути минимизации позиционности и ограничить позиционность общего ответа до двух знакомест. В этом случае ответ, хоть и сохраняет четкость определения, но теряет единственность позиции отображения в составе многозначного ответа. Вот пример: Логические состояния троичной логики в интерпретации Д.Б.Малашевича, это:

Но, есть и состояние 11, которое к логическим ответам системы не относится, хотя является нормальным для такого двухпозиционного ответа. Куда его отнести, и как его квалифицировать?

Такую логику троичной назвать уже трудно. В ней 4 возможных логических состояния. Как бы мы не хотели ограничить их до трех.

Эти трудности формализации и интерпретации многопозиционного логического ответа сразу ставят в тупик любого желающего применить в любой математической логике многопозиционный регистратор логического состояния на основе бинарной записи.

Но, это только цветочки, … а ягодки, в виде сложностей проведения элементарных математических действий, на которых основана любая математическая логика, могут окончательно поставить крест на таких благих начинаниях. Мы привыкли к числовой математике. Понятие числа давно устоялось. Булева логика оперирует одноразрядным битом, который, в свою очередь, был взят как первый разряд из двоичного числа. Число и бит прекрасно сопоставляются. Для математики – никаких трудностей.

Единица информации логической системы, таким образом, стала сопоставляться с числом, соответствующей счетной системы с основанием равным количеству логических состояний системы.

Для троичной логики – трит, это, соответственно, первый однопозиционный единичный разряд числа в троичной системе отображения. И вопрос, какие цифры этой системы взяты для отображения логического состояния — -1;0;+1; или 0;1;2; уже непринципиален, это уже только поверхностное отличие в удобстве отображения одних и тех же состояний одной и той же логики. Для этой логики есть полномасштабная счетная система, позволяющая проводить логические операции и интерпретировать их математическими аналогами. В принятой системе позиционного отображения.

Переход троичной логики на бинарную запись ее логических состояний означает, в общем случае, отказ от троичной системы счисления.

Невозможно вести операции вычисления в одной системе, а текущий результат вычисления регистрировать — в другой. Мы здесь не говорим о конечном отображении, оно может быть любым.

Переход на бинарную запись приводит к необходимости поиска компромисса и в применении счетной системы для троичной логики. Какой должна быть эта счетная система? Она должна быть одновременно и двоичной, и троичной…

И покатился снежный ком, … новые проблемы накручиваются одна за другой.

Вот что предлагает Д.Б.Малашевич.

С другой стороны, его стремление ввести в работу троичную логику хотя бы в таком варианте, вполне понятно и оправданно. Троичная логика давно заслужила право стать, наконец, основной, в машинных логических системах. И если он найдет решения множества возникающих проблем и необходимые компромиссы, то можно будет говорить о быстром возвращении троичной логики в современную компьютерную технику. Дай бы бог…

Многозначность логического ответа.

Именно проблемы введения многопозиционности логического ответа стали главными в понимании и формулировании основных принципов счетной логики. От бинарной записи в современных условиях уйти невозможно. Применение бинарной записи в логической системе, отличной от Булевой логики, принуждает вводить двоичную систему в качестве одной из основных. Или отказаться от единой вычислительной системы, как базы для вычисления результата логической операции.

Можно оставить только позиционный принцип. Бинарная запись сегодня применяется не только в двоичной системе счисления. В таком случае, любая счетная система, использующая бинарную запись для отображения результата вычисления, может быть применима в математической логике. Любая, или все сразу?

При этом возникает очень непростой вопрос: Логическое состояние – это число или нет?

Если рассматривать бит и трит, как отдельные единицы информации логических систем, основанных на соответствующих системах счисления, то ответ однозначен – это число. Одноразрядное число.

Как, в этом случае, понимать двух, трех, многопозиционный ответ? Как многоразрядные числа?

С другой стороны, бит и трит, это аналоги единичного разряда числа в соответствующей системе счисления и самостоятельного числа иногда, например, в составе машинного слова, могут не представлять. Тогда, многопозиционный логический ответ – это многопозиционный разряд какого-то числа неизвестной системы счисления. И такой логический ответ числом, в обычном его понимании, быть не может. Это числовая последовательность, машинное слово, набор цифр, все что угодно, но только не многоразрядное число.

Если принять это, то, как проводить вычислительные операции для получения этих самых логических ответов?

Компромисс напрашивается сам собой, многопозиционный логический ответ, это – многоразрядное машинное слово.

Такое понимание логического ответа системы сразу ограничивает применение математики.

Если нет единой счетной системы, то возможны только разрядные операции. В пределах примененной бинарной записи.

Она отображает и результат вычисления, и логический ответ.

Если разряд в машинном слове один, то применим только принцип проведения рациональных вычислений. 1-1=0; 11=1 и т.д.

Если машинное слово имеет больше одного разряда, то, наверное, возможно применение нескольких вариантов вычислений из разных систем. Например: 10+10 =100, 1+10=11; 1+10=100; 1+1=10,1 и т.д.

Но, вы заметили? Во многих случаях, результат получается больше, чем два разряда. Оказывается, что ограничение логического ответа до двух разрядов снова приводит к однозначному применению все той же рациональной системы. Например, двоичной. Другая, с большим основанием, не вписывается в два разряда. А в одном разряде и нет смысла пытаться применить какие-то иные системы, кроме рациональных.

Таким образом, если логический ответ имеет бинарную запись и один или два разряда, то для разрядных вычислений применима только рациональная система счисления. Какая?

Тут я хотел бы остановить внимание. Под понятием рациональной системы счисления может пониматься не только, уже привычная нам, двоичная система. Это, в общем случае, система с рациональными разрядными единицами. На разрядных вычислениях различий мы не увидим.

Вариации в применении системы счисления становятся ощутимыми только при выходе результата вычисления за пределы разряда.

Я рассматривал двухразрядные и трехразрядные логические ответы в [1]. Вышеизложенные соображения заставили меня остановиться на двухпозиционном отображении логического состояния системы.

Если рассматривать двухпозиционное обозначение логических состояний с точки зрения счетной логики, то:

Как мы видим, все возможные комбинации двухпозиционного обозначения логических состояний использованы.

Двухпозиционное отображение логических состояний системы приводит к необходимости введения единицы информации для счетной логики – двойной бит, или – дит.

Это соотношение предполагает возможность каких-то математических операций с разрядной битовой информацией внутри дита. Но, единица измерения – дит, ограничивает такие операции.

Результат разрядного вычисления внутри дита не может выходить за рамки битового разряда.

Такое ограничение сразу приводит к появлению неопределенностей, как и для Булевой логики. Например: 1+1= ?

Для дизъюнкции, это: 1+1=1, а для исключающего ИЛИ: 1+1=0.

Логический ответ математической операции зависит от контекстного понимания. Где применим, то и получим. Все зависит от обстоятельств.

Со стороны двоичной математики это мнимая неопределенность. 1+1 =10.

А с логической – действительная.

В счетной логике эта неопределенность не устранена. Как же ее устранить, если разрядные операции идут по законам Булевой логики. Ответ зависит от логической операции.

И последнее, если есть двойной бит – дит, то должен быть и двойной байт – дайт.

Хотел бы отметить, что при всей простоте получения единиц информации счетная логика не сливается с Булевой. Это расширение возможностей математической логики вместе с расширением базы логических состояний при тех же инструментах отображения – позиционности и бинарной записи.

Математика двухбитовой логики.

Нам придется совместить математические операции с логическими.

Основными в изложении будут математические действия. Их количество четко определено. Логические операции, привязанные к определенному математическому действию, показаны в составе описания этого действия. Логические операции, не имеющие математической интерпретации в виде математического действия, выделены отдельно. Математика дана для логических операций с двух переменными, как f (А,В) =С. Кроме инверсии, естественно.

Сложение.

Дизъюнкция.

В Булевой логике определяющим для этой операции является результат 1+1 =1(0).

Таблица 3.

Исключающее ИЛИ.

В этой операции определяющим отличием является 1+1=(1)0:

Таблица 4.

Вычитание.

Это чисто математическое действие, но, учесть его математике логики необходимо. В логическом варианте результат операции часто отличается от математического:

Таблица 5.

Умножение.

Конъюнкция.

Если использовать двухпозиционные определители для логических состояний, то с математической точки зрения операция, как и положено, может быть представлена умножением.

Таблица 6.

Деление.

Результат этой математической операции также зависит от понятия МНОГО = 1(0), (1)0. Неопределенность деления 0 на 0, видимо придется считать как 0:0=0

Для МНОГО = 1(0):

Таблица 7.

Теперь, для МНОГО= (1)0:

Таблица 8.

Как мы видим, различия в результате ощутимые.

Отрицание.

Так как логические состояния определяются двумя битами, то возможно, как полная инверсия, так и частичная.

Таблица 9.

При применении отрицания, как полной инверсии логического ответа, т.е. получение его противоположности мы получаем два отрицания.
1. Для логических ответов ДА и НЕТ:

2. Логический ответ НЕ ЗНАЮ имеет противоположностью – нет ответа:

Противоположностью логической неопределенности ответа в этом случае является отсутствие ответа. Противоположности смыкаются в своем действии на результат. Вернее, на отсутствии его определенности.

В приведенных вариантах противоположность всех разрядных величин, как и в Булевой логике сохраняется.

А вот другой вариант НЕ, допускаемый только счетной логикой. Например, отличительное НЕ:

Это противоположность действенных определенных логических ответов к неопределенности логического ответа НЕ ЗНАЮ. Это логическое отрицание отражено неполной инверсии логического ответа в таблице..

У нас остался еще вариант противопоставления. Общая противоположность пассивного состояния ожидания и активного логического состояния.

Так его отражает и Булева логика.

Выбор.

Его позволяет множественность полученных нами возможных логических ответов системы. Пока, выбор может быть между логическими ДА и НЕТ.

Выбор требует набора аргументов и принятия решения. Аргументами для выбора могут быть только действенные логические ответы — ДА и НЕТ. И потому участие в операции выбора логического ответа НЕ ЗНАЮ (Х), хоть и допустимо, но фактически к результату не приводит. Мы снова получаем неопределенность.

Логический ответ НЕ ЗНАЮ в процедуре выбора, может участвовать операции как однозначное единичное состояние. Как потенциал или импульс команды Разрешение выбора.

Если в качестве разрешения выбора мы применяем состояние (х), то:

Логическое состояние, зафиксированное на информационных входах элемента выбора с разрешением, при поступлении разрешения транслируется на выход. Здесь, как мы видим, проявляется неопределенность отображения состояния (Х). В одном случае, как состояние входа, это 11, а в другом, как наличие единичного разрешения – (х). Различие в позиционном представлении.

В первом случае это двухпозиционный логический ответ, в другом – однопозиционная команда в виде потенциала или импульса. Чтобы в дальнейшем различать их можно предложить двухпозиционный определитель отражать, как — Х, а команду, как – х.

Для реализации этой операции в счетной логике есть электронный элемент выбора с разрешением.

Условие разрешения выбора (х) может формироваться и самой схемой элемента выбора. Элемент показан в [1].

Для формирования разрешения выбора на входе элемента необходимо получить состояние 11(Х). Мы уже показывали операцию получения ответа НЕ ЗНАЮ, как сумму ДА и НЕТ в точке выбора (33), (34).

Следующее на ним любое новое логическое состояние будет автоматически транслировано на выходы схемы. И становится состоянием выхода.

Операция такого условного выбора определяется формулами:

Или, в отображении счетной логики:

Ответ в этой операции можно получать как в двухпозиционном, так и однопозиционном варианте. Все зависит от дальнейших действий с полученным результатом.

Связь однопозиционного и многопозиционного логических ответов.

Булева логика, наверное, останется самой глубинной логической системой любого логического устройства. Во многих случаях определения неопределенность недопустима и невозможна. Только граничные условия. Есть или – нет.

Неопределенное состояние, как логический ответ возможно и допустимо только в системе допускающей такой ответ в качестве Результата. Это возможно только в высокоразвитой системе, оперирующей неопределенностями для решения задач, допускающих такой Ответ. И потому, как мне кажется, любая система многозначной логики может быть только надстройкой над аппаратом Булевой логики.

Троичная логика очень органична по отношению к человеческому понимаю, интеллекту, Разуму. Она дает адекватные ответы во многих ситуациях, чего не может обеспечить Булева логика. Троичная логика и сделана в расчете на Человека. А не на Машину. И, если мы говорим о взаимодействии Человека и Машины, то лучшего, как мне кажется, логического аппарата их взаимодействия не придумать. Для такого высокоразвитого аппарата, как троичная логика и проще уже просто некуда. Все логические ответы являются глобальными логическими состояниями. Как и в Булевой логике. Все так.

Но, именно по этой причине Булева и троичная логика – несовместимы.

С этих позиций, как мне кажется, было бы очень разумным развивать обе базовые системы математической логики. Возможно, на каком-то этапе развития они найдут точки соприкосновения и взаимодействия.

В этом смысле счетная логика предложена как компромисс получения и использования многозначных логических ответов объема троичной логики в системах, основанных на аппарате Булевой логики. Она может работать с неопределенными логическими ответами, как и троичная логика и при этом оставаться только надстройкой над логической системой, в которой эта возможность отсутствует. Надстройкой.

Это и определяет локальность логических ответов системы счетной логики. Они всегда останутся такими, если есть другая, базовая логическая система определения.

При использовании бинарной записи любой двухпозиционный логический ответ системы всегда будет действовать только в пределах проводимой операции.

За ее пределами он может быть сжат и до однопозиционного активного логического состояния системы. В его глобальном определении Булевой логики. Независимо от прошедшей операции это – 1.

Ответ есть. Мы зафиксировали наличие Результата. И он отличен от начального состояния -0.

Далее он может использоваться в любом качестве его нового контекстного понимания. В любом варианте – ДА, НЕТ, НЕ ЗНАЮ. Все зависит от обстоятельств…

Двухпозиционные логические ответы всегда останутся только суммой состояний Булевой логики — 0 и 1.

И потому, схемы и устройства, разработанные автором, имеют как двухпозиционные входы и выходы, так и однопозиционные. Одно другого никак не отменяет.

Двухпозиционность логического ответа почти автоматически ведет к использованию его в качестве определителя направления коммутации. Собственно, для такого использования эти ответы и предлагаются.

Счетная логика расширяет возможности Булевой логики применением двухпозиционных вариантов логических состояний для создания системы выбора.

В этом смысле, многопозиционность логического ответа не является чем-то постоянным. Позиционность логического ответа зависит от конкретизации Ответа системы. Чем более широкий выбор предполагает Результат, тем многопозиционнее будет Ответ системы. Двухпозиционные ответы вполне могут стать и трех, и четырехпозиционными. Если под это будет разработана соответствующая система определения. Конечно, это новая надстройка, но, если задача требует, то … почему и нет?

Логическая система счетной логики, одинаково свободно оперирующая как битами, так и дитами, как мне кажется, способна решать задачи более высокого класса, чем те, которые может сегодня решить компьютер с одной Булевой логикой.

Литература:

1. Никитин А.В. На пути к Машинному Разуму. Круг третий. // «Академия Тринитаризма», 2006 г, М., Эл № 77-6567, http://trinitas.ru/rus/doc/avtr/01/0560-00.htm
2. Никитин А.В., Счетная логика // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.13255, 27.04.2006, http://trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321008.htm
3. А.М. Хазен. О термине действие-энтропия-информация http://www.bazaluk.com/texts/library/hazen.htm
4. Н.П. Брусенцов Блуждание в трех соснах (Приключения диалектики в информатике) Москва, SvR — Аргус, 2000. – 16 с.
   и в сборнике: «Программные системы и инструменты»,Труды ф-та ВМиК МГУ, №1, Москва: МАКС Пресс, 2000, с.13-23
5. Н.П.Брусенцов Заметки о троичной цифровой технике — часть 1 http://www.computer-museum.ru/histussr/12-1.htm
6. Н.П.БРУСЕНЦОВ ЗАМЕТКИ О ТРОИЧНОЙ ЦИФРОВОЙ ТЕХНИКЕ — ЧАСТЬ 2. Сборник «Архитектура и программное оснащение цифровых систем. МГУ, 1984 г. http://www.computer-museum.ru/histussr/12-2.htm
7. Д.Б. Малашевич Недвоичные системы в вычислительной технике МГИЭТ УДК 658.512.011.56 http://www.computer-museum.ru/books/archiv/sokcon27.pdf

Никитин А.В., Математика счетной логики // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.13584, 21.07.2006

Адрес документа: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0016/001b/00161278.htm#_Toc140482292