А.В. Никитин

Тm-гармонии А.А.Татаренко и Теория Математических Гармоний

(с комментариями А.П. Стахова)

Ох, уж эти «Тm – гармонии» А.А. Татаренко…

Сам автор никаких математических обоснований своему изобретению не дает. Каждая новая его статья все более заполнена философскими высказываниями и лозунгами. Философии все больше, а математики - все меньше. Возник какой-то информационный вакуум для математической оценки.

С другой стороны, все, что нужно для понимания, он сказал в первой, опубликованной на сайте статье [1]. По крайней мере, для меня это стало ясно при первом же прочтении.  И, тем не менее, все говорят о непонимании…, странно. Мы читаем одно и то же, а мнения  - противоположны?

Моя статья [6] объявлена дискуссионной и это накладывает на меня некоторые обязательства по обоснованию моей точки зрения на  Тm – гармонии А.А.Татаренко.

Придется, видимо, дать некоторые разъяснения по математической сути вопроса. 

Начнем с цитаты А.А.Татаренко:

«В 2002 г.  … на III РОССИЙСКОМ ФИЛОСОФСКОМ КОНГРЕССЕ в Ростове–на–Дону автор настоящих тезисов сделал доклад «В. И. Вернадский и «Принцип Тm» в эволюции Природы», в котором сообщил, что многовековая научная парадигма уникальности ЗСФ в части его инвариантности Ф-1/Ф = 1 является фундаментальной ошибкой:

• - установлена в 1995 г. формула Т_±m = ( √m² + 4 ± m) / 2 — азбучные корни квадратного трехчлена, генерирующая бесконечное множество иррациональных чисел Тm, обладающих при целочисленных значениях параметра m = 0,1,2,3, … замечательной инвариантностью Т_m -1/Т_m = m, из которой как частный случай при m=1 следуют формулы классических Золотой Т₁= Ф – Пропорции (ЗПФ) и Т_-1 = 1/T₁ = 1/Ф — ЗСФ (Золотой Т_±1 – Гармонии) » [2]

Вот оно, открытие, выраженное в четкой и сжатой форме. Чтобы понять его смысл, наверное, необходимо реконструировать ход мыслей ее автора в понятной форме, т.к. содержание работ А.А.Татаренко достаточно мозаично.

Комментарий 1 (Стахов). Я подхожу к «открытию» Татаренко с чисто математической точки зрения. В упомянутом высказывании Татаренко, как и во всех его работах,   основной упор делается на инвариантность Т_m -1/Т_m = m, из которой как частный случай при m=1 следуют формулы классических Золотой Т₁= Ф – Пропорции (ЗПФ) и Т_-1 = 1/T₁ = 1/Ф. А теперь обратимся к книге Мидхата Газале «Гномон. От фараонов до фракталов» (пер. с англ.). Институт компьютерных исследований, Москва-Ижевск, 2002. Ниже приведена сканированная копия с. 61 этой книги.

Что мы видим на этой странице? Рекуррентная формула (3.1) задает те числовые последовательности, о которых в своих статьях пишет А.А. Татаренко. А формула (3.2) –это ни что иное, как  «замечательная инвариантность Татаренко», которую до него (или одновременно с ним) открыл Газале (на английском языке его книга опубликована в 1999 г.). Кстати, на странице 62 Газале называет число Ф_m = Т_m  «затравочным числом» числа m, а само число m – гномоном.

В моей статье «Металлические пропорции» Веры Шпинадель» (http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02320029.htm) я показал, что к этим же числам пришла аргентинский математик Вера Шпинадель, которая назвала их «металлическими пропорциями». Кстати теория «металлических пропорций» изложена в книге Vera W. de Spinadel, From the Golden Mean to Chaos, Nueva Librerнa, 1998, переизданной в 2004 г. И мы не имеем права игнорировать тот факт, что к одному и тому же результату пришли одновременно, по крайней мере, три ученых: Татаренко, Шпинадель и Газале (я уже не уверен, что к этим числам не пришел кто-либо еще раньше). Поэтому надо говорить о «числах Татаренко, Шпинадель и Газале». И приписывать этот результат только Татаренко было бы некорректно.  

При внимательном их анализе сделать такую реконструкцию  оказалось  достаточно просто. Но, давайте, все – по порядку:

Формула нахождения корней линейного квадратного уравнения типа ax²+bx+c=0:

При а = 1; b = — 1; c = -1 эта же формула вырождается в хорошо знакомую нам формулу нахождения числа Фидия или Золотой Пропорции :

Теперь осталось заменить –b на переменный фактор, предложенный А.А. Татаренко, видимо, имеющий название «модуль», обозначенный как m, для получения пар взаимообратных чисел Т_m .

Формула  Татаренко [1] принимает вид:

Где изменение m задается. Например, m = 1,2,3, …

Для  обоснования уникальности этой формулы ее необходимо немного преобразовать и разделить на две формулы (4) и (5), генерирующие только положительные числа:

Где m= 1,2,3, …

 Формула дает пару взаимообратных чисел Т_m  и t_m, отличающиеся только целой частью. Числа приведены в таблице 1.

Таблица1

Как я уже неоднократно говорил, генерируемые пары взаимообратных чисел является новым классом чисел, объединенных  подобием свойств. Вот эти свойства :

На это свойство справедливо указал А.А. Татаренко.

Я могу добавить еще одно их уже известное общее свойство - взаимообратность, отраженное у А.А.Татаренко  не в такой явной форме, как первое:

Подобие свойств всех пар взаимообратных чисел говорит об одинаковом статусе всех генерируемых формулами (4) и (5)  пар чисел.

Комментарий 2 (Стахов). Все эти рассуждения ничего нового к тому, что я сказал в комментарии 1, не добавляют. Еще раз повторяю: все написанное выше, которое преподносится как  «открытие» Татаренко, изложено в упомянутой выше книге Газале и в работах Шпинадель. 

Это я вынужден подчеркнуть особо. Так как первое генерируемое формулами число, это – Число Фидия или Золотая Пропорция. 

Это заставляет скептически относиться к названию – «металлические» пропорции, закрепленному в работах Веры Шпинадель.  Такое название вытекает из изначального их подчинения главному числу Математики Золотого Сечения. Но, как мы видим, это не соответствует действительности.

Им более подходит название «Тm – гармонии», данное  А.А. Татаренко.  Такое название выводит все эти числа на один  уровень – Основания Математической Гармонии.

Комментарий 3 (Стахов). Дело вкуса, как называть полученные соотношения: «Тm – гармонии», «металлические пропорции» или «затравочные числа Газале». Сути дела это не меняет. Речь идет об одном и том же математическом результате.

И в этом смысле, как мне кажется, А.А.Татаренко сделал очень важный шаг.  Он, фактически, отделил понятие «математической гармонии» от ее философского и художественного восприятия.

Комментарий 4 (Стахов). Это – очень туманно. Я не понимаю этого высказывания.

Действительно,  введение «гармоний», как  математического термина, и их множественности, сразу поставило вопрос  об их общих математических свойствах. Пока, я могу указать только одно, уже определенное нами свойство - наличие уникального основания. 

По этому признаку все Тm – гармонии, включая и гармонию «золотого сечения», являются совершенно равноправными.  Их различает только формальный математический признак – основание.

В качестве оснований различных Тm – гармоний, выступают пары взаимообратных чисел, объединенные признаками подобия  свойств.

Комментарий 5 (Стахов). Природа числа не воспринимает, она воспринимает геометрические соотношения, вытекающие из этих чисел. Поэтому Природа вряд ли «понимает» взаимообратность Золотой Пропорции. А вот «золотую» спираль, основанную на «золотой» геометрической прогрессии, Природа очень хорошо воспринимает. В этой связи я хотел бы обратить внимание Татаренко и Никитина,  что  главным свойством Золотой Пропорции является не «взаимообратность чисел», а нечто другое. Главными свойствами  является «аддитивность» и «мультипликативность» членов «золотой» геометрической прогрессии, которая порождают «золотую» логарифмическую спираль, которая лежит в основе наутилуса и других спиралеобразных  структур Природы. Речь идет о следующих геометрических свойствах:

Фⁿ = Ф^n-1 +  Ф^n-2 (аддитивность)

Фⁿ = Ф´ Ф^n-1 (мультипликативность)

На это свойство одним из первых обратил внимание Матила Гика в своей книге «Эстетика пропорций в Природе и Искусстве» (1935). Гика считает, что именно эти свойства являются причиной широкого распространения именно классической Золотой Пропорции в живой природе.

И с точки зрения «аддитивности» и «мультипликативности» Тm-гармонии Татаренко уступают классической Золотой Пропорции, и это делает Золотую пропорцию «уникальной и неповторимой». Мне понравилось, что Вера Шпинадель в своих работах также выделяет Золотую Пропорцию среди других «металлических   пропорций», называя ее «наиболее иррациональным числом среди всех иррациональных»

Кроме того, необходимо напомнить, что Золотое Сечение «порождает» огромное количество совершенных геометрических фигур (пентаграмма, «золотая» спираль, додекаэдр, икосаэдр и др.), которые широко проявляют себя в Природе. Именно через геометрию этих уникальных фигур Золотое Сечение проявляет себя в Природе и Науке. Мы говорим о «пентагональной» симметрии, о фибоначчиевых спиралях на поверхности сосновой шишки, о «додекаэдро-икосаэдрической» форме Земли и т.д. Плитки Пенроуза, квазикристаллы Шехтмана, фуллерены (Нобелевская Премия 1996 г.), теория E-infinity Ель Нашие, продемонстрировавшая фундаментальную связь Золотого Сечения с квантовой физикой и теорией элементарных частей – вот далеко не полный перечень действительно великих открытий современной науки, основанных на Золотом Сечении. И все это – составные части «Геометрии Гармонии», основанной на Золотом Сечении. А какие геометрические фигуры «порождают»  Тm-гармонии Татаренко?  И к каким «великим» открытиям они приводят?   

До сегодняшнего дня основное внимание уделялось только Т₁ – гармонии, с основанием – число Фидия. Со своей стороны А.А.Татаренко особо выделяет Т₂ – гармонию. И как мне кажется, вполне справедливым было бы дать  основанию этой математической гармонии название – число Татаренко.

Комментарий 6 (Стахов). Предложение интересное, но тогда будет ущемлен приоритет Веры Шпинадель, которая назвала это число, равное Т₂ = 1 + ,  «серебрянной пропорцией», а также Газале, который назвал эту пропорцию «затравочным числом» числа 2. То есть «число Татаренко», на самом деле, открыто другими учеными. Я уже не говорю о Пифагоре, который, исследуя отношение диагонали к стороне квадрата, открыл число , которое считается первым в истории науки иррациональным числом. Так при чем здесь Татаренко с его числом  Т₂ = 1 + ? 

Всю последовательность пар взаимообратных чисел, конечно, можно именовать как «числа Шпинадель-Татаренко», но имеет ли это какой-то реальный смысл – не знаю. Уже есть «металлические пропорции» Веры Шпинадель и «Тm – гармонии А.А.Татаренко». Да, они основаны на одних и тех же числах, но пока, это – различные математические понятия

Комментарий 7 (Стахов). Это для меня очень большая новость. Я не понимаю, в чем различие между «металлическими пропорциями» Веры Шпинадель и «Тm – гармониями А.А.Татаренко». С математической точки зрения это одно и то же понятие.

 А числа, одни и те же -  взаимообратные. Завтра найдется еще одна точка применения этих чисел, а потом, возможно, еще одна, … так и будем менять их название?

На этом можно было бы и закончить рассмотрение «Тm – гармоний» Татаренко, т.к.,  далее этого, мыслей самого А.А.Татаренко не просматривается.

Но, теперь можно уже просто продолжить начатое обобщение и довести его до логического завершения.

Мы все находимся «в плену» Золотого Сечения.  Тот же Александр Анисимович Татаренко, хоть и сделал решающий шаг в сторону  Тm гармоний, но, тут же назвал их «золотыми». И хоть это явно не соответствует действительности, но у него не хватило сил,  выйти из-под  этого «золотого» ореола. И, как я думаю, не только у него….

На самом же деле, он совершенно справедливо указал, что  его Тm – гармонии составляют «теорию». Может быть не в таком самостоятельном виде, как  предположил он, назвав свое изобретение «Теория Тm – гармоний», но, это вполне соответствует действительной закладке фундамента  какой-то Теории Математических Гармоний в рамках общей Математики Гармонии. В которой Тm – гармонии вполне могут стать началом, например, Теории Оснований.

Комментарий 8 (Стахов). Я неоднократно подчеркивал, что числа Шпинадель-Татаренко-Газале, несомненно, представляют определенный математический интерес  для Математической Теории Гармонии и поэтому я посвятил этим числам один параграф в своей статье «Гармония Мироздания и Золотое Сечение: древнейшая научная парадигма и ее роль в современной науке, математике и образовании» http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02320036.htm

Давайте, посмотрим на рис.1.  Так стала выглядеть Математика Гармонии, в связи с  введением Тm – гармоний Татаренко. Конечно, реально разработанной, пока является только Математика Золотого Сечения, но,… лиха беда – начало? Возможно, появятся и остальные составляющие.

Рис.1. Составляющие Математики Гармонии.

Но, все эти частные математики Гармоний пока базируются только на одной формуле (3). Если мы вернемся даже к формуле (1), то обнаружим, что количество вариационных  составляющих этой формулы значительно больше. И вполне возможно, что очень скоро будут найдены новые основания, для новых математических гармоний, на каких-то новых общих признаках. 

Здесь я хотел бы отметить, что, как мне кажется, Вера Шпинадель в своих разработках, в рамках «металлических пропорций» [3,4], а также, например С.А. Ясинский[5], давно вышли за пределы Математики Золотого Сечения. И, только определенная «боязнь высоты» и давлеющее на них Величие Золотого Сечения не дает им увидеть реальное положение вещей.  Но, и формула(1), не конечная точка в нахождении оснований математических гармоний. Наверное, будут и другие.

Появляются вполне зримые контуры  действительной Теории Математических Гармоний. И первым шагом к ее созданию без сомнения явились Тm –гармонии А.А.Татаренко.

Как я понимаю, такая теория должна быть главной составной частью Математики Гармоний, в которой Математика Золотого Сечения, хоть и важнейшая, но только  - составная часть.

Комментарий 9 (Стахов). Конечно, мы можем говорить о Математике Гармонии, основанной на числах Шпинадель-Татаренко-Газале, если в дальнейшем будет показано, что эта математика имеет серьезные приложения в Природе и Науке. Но я уверен в том, что никакие Тм-гармонии Татаренко, так же, как и, впрочем, золотые р-пропорции (Стахов, Сороко) не превзойдут классическую Золотую Пропорцию, которая по совокупности своих математических свойств всегда  останется «уникальной и неповторимой».

***

Так, являются ли «Тm – гармонии» А.А. Татаренко открытием?

Нисколько не умаляя заслуг всех остальных математиков, работающих в этом же направлении, могу сказать – несомненно.

Здесь, как  мы видим, вопрос совсем не в том, кто первым подошел к Формуле, а в том, кто первый увидел в этой формуле  Систему Математических Гармоний. И пусть А.А.Татаренко сделал только первый шаг в сторону понимания этого факта, но, вот в этом он был, действительно – первым.  Как мне кажется, приведенные мною обоснования и необходимые обобщения позволяют это понять.

 Как уже говорилось, мне показалось, что эта сторона в разработке «теории Тm – гармоний» А.А.Татаренко  была очевидно заметна с самого начала, с первой публикации [1]  на сайте Академии Тринитаризма. Но, почему-то возникло стойкое непонимание.

Возможно, это и есть действительное непонимание. Возможно, это невозможность преодолеть  устоявшуюся систему взглядов, часто мешающую видеть очевидное,… не знаю. В этом уже трудно разобраться.

Но, слишком часто в своей жизни мы сталкиваемся не с непониманием, а с политикой «непонимания», направленной на выигрыш времени для реализации ответных действий в рамках защиты «групповых интересов» и Монополии Права своей группы. Мы все, немножко, политики.

И как  мне кажется, политика «непонимания» еще проявит себя «во всем блеске». Как на этом, так и на другом, более высоком уровне.  Я думаю, что данная дискуссия, только первый шаг к истинному признанию Приоритета. И не питаю особых иллюзий по этому поводу. Можно быть почти уверенным, что политическое «непонимание» и американской, и европейской математики по этому поводу будет  неограниченно долгим. Пока не появятся  какой-нибудь «Маркони» или аргументы для  установления своего приоритета в рамках Центра Монополии Права. И это вполне возможно, так как открытие А.А.Татаренко носит, в основном,  системообразующий характер.  Поэтому, и это мое глубокое убеждение, в этом вопросе так важна, в том числе и гражданская позиция.

Комментарий 10 (Стахов). В заключение я хотел бы сказать, что ни статьи Татаренко, ни статьи Никитина пока меня не убедили в том, что «Тм-гармонии Татаренко» являются крупным научным открытием. Впрочем, я могу ошибаться. И я был бы рад признать свою ошибку, если Татаренко и Шпинадель (а может и Никитин) смогут убедить меня и других ученых в том, что речь идет о крупном научном открытии, сравнимым с Золотым Сечением, которое Кеплер назвал одним из сокровищ геометрии и сравнил его с «Теоремой Пифагора».  И тем более нельзя говорить о революции в науке, сравнимой с открытием Коперника, в чем нас пытается убедить Татаренко. Ни к какому «Всемирному Закону Гармонии» «числа Шпинадель-Татаренко-Газале» пока нас не привели. Если говорить откровенно, то мне видится бессмысленным продолжать дискуссию, которая основана не на научных доказательствах и фактах, а на эмоциях и которая превращается в некоторую «пиаровскую кампанию» по продвижению «открытия Татаренко».

Литература:

1.     Татаренко А.А. «Т_m — принцип» — всемирный закон гармонии // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12575, 10.11.2005

2.     Татаренко А.А. На пороге первого тысячелетия эры полигармонии Мира // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12658, 04.12.2005

3.     Vera W. de Spinadel The metallic means family and forbidden symmetries the metallic means family and forbidden symmetries // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12603, 18.11.2005

4.     Стахов А.П. «Металлические Пропорции» Веры Шпинадель // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12532, 25.10.2005

5.     С.А.Ясинский Основы логико-математического моделирования систем «человек-машина-среда». Военный университет связи. С.-Петербург. 2002г.

6.     Никитин А.В. Монополия Права и математика ЗС // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.13059, 09.03.2006