При а = 1; b = — 1; c = -1 эта же формула вырождается в:
Теперь осталось заменить –b на переменный фактор, предложенный А.А. Татаренко, видимо, имеющий название «модуль», и обозначенный как m, для получения взаимообратных чисел Тm. Получаемые числа представляют собой корни линейных квадратных уравнений. Эти уравнения и сами числа, видимо, еще предстоит анализировать. Формула (12) принимает вид:
Где изменение m задается. Например, m = Придание величине m статуса «модуля» вызвано важностью этого параметра. Для этого стоит только посмотреть на числа, генерируемые по формуле (13). Числа приведены в таблице 1. Формула дает пару чисел, отличающихся только целой частью. Таблица 1
Модуль m соответствует целой части получаемых
чисел. Дробная часть может иметь название «мантисса» по аналогии с числами
логарифмов. Это самостоятельная и определяющая часть взаимообратных чисел.
Очень возможно, что формулировки и мои названия вскоре будут изменены, но
пока, за неимением других, я буду пользоваться этими. Таким образом полное взаимообратное число имеет целую часть,
определяемую модулем, и соответствующую дробную часть
Мне кажется, что эти числа еще будут исследоваться, и потому, больше на их структуре мы останавливаться в этой работе не будем. Единственное, что следует выделить особо, так это:
Это свойство и дает главный признак для признания подобия основных свойств взаимообратных чисел свойствам единственного, известного до этого момента числа Ф, числа Фидия или «золотого сечения», и объединения этих чисел в особый класс. Числовые последовательности на базе взаимообратных чисел.
Взаимообратные числа в силу подобия их свойств свойствам числа Ф, позволяют сформировать числовые последовательности на основе каждого такого числа. В этом смысле последовательности Фибоначчи и Люка могут служить эталонами и технической основой. Эти последовательности различаются способом формирования. Числовые
последовательности типа последовательности Люка.
Последовательность Люка сформирована на базе округления очередного значения Фn до ближайшего целого числа по формуле:
Как последовательность, она имеет вид: 1,3,4,7, …. Возьмем этот механизм формирования за основу и сформируем последовательности для некоторых взаимообратных чисел. Например, для числа T2 = 2,4142135 такая последовательность буде представлена так: …2,6,14,34,82, …. Подобным образом можно сформировать целочисленные последовательности для любого числа Тm. Остается нерешенным вопрос о формировании начала последовательности. Числовые
последовательности типа последовательности Фибоначчи.
Основное отличие этого типа последовательностей от последовательности Люка в механизме получения следующего члена последовательности из значений предыдущих. Механизм раскрыт в формуле:
Механизм получения последовательностей для любого Tm должен быть подобен (17). Очередной член
последовательности представляет собой сумму двух предыдущих,… но, в формуле
должен быть учтен и модуль m
Где: Km – член числовой последовательности на базе числа Tm. m Например, сформируем последовательность чисел от Т2: 1, 2,5,12,29,60, …. Вариации в начале последовательности, естественно, еще будут уточняться, и, поэтому, сформированная последовательность такого типа, не единственная для этого числа. Но, как пример, вполне показательна… Счетные системы на базе взаимообратных чисел.
Вполне естественным будет и здесь использовать давно разработанные аналоги для Ф – систем. Основными, для наших построений, можно взять систему Бергмана и коды Фибоначчи. Начнем мы с полномасштабных систем типа системы Бергмана. В качестве основания системы может быть использовано любое число Tm. В качестве основы для формирования счетной системы по канонам позиционного принципа изображения числа используется степенная функция:
Число, как и в классических системах, будет суммой разрядных
единиц. Максимальную емкость разряда в разрядных единицах таких систем
определяет модуль m Делаем счетную систему. Первым шагом определяется величина разрядной единицы для каждого разряда системы: 1=1 = (T2)0 10= T2 100= (T2)2 и т.д. Теперь определяем механизм получения новой разрядной единицы при заполнении разрядов числа. В системе Бергмана действует механизм, названный А.П.Стаховым — «свертка – развертка». Это: 100 = 011 Т.е. каждая новая разрядная единица формируется при заполнении двух соседних разрядов. Этот механизм справедлив для всех счетных систем на базе числа Ф. Он отражает и механизм формирования последовательности Фибоначчи по формуле (7). В таком случае механизм образования новой разрядной единицы для счетной системы на базе T2 = 2.4142…. будет иметь основой формулу (8). А операция преобразования числа «свертка – развертка» примет вид: 100 = 021 Остается только вывести общую формулу «свертки – развертки» для любого Тm:
Где m — модуль взаимообратного числа, используемый в качестве показателя емкости разряда. Теперь механизм действия счетной системы становится понятным. Можно показать первые числа натурального ряда в записи системы, например, Т2: 1 =1 2= 2 Т2 =10 3= 10.0100010001… в периоде 4=11,010001000100… 5 = 12,010001… (Т2)2 = 100 6= 100,0000010001 … 7 =101,0000010001… 8 =102,0000010001… 9=110,1000000010… 10= 111,1000000010… И т.д. Такое резкое появление и расширение дробной части числа при суммировании счетных единиц – характерная особенность таких счетных систем. Я не показываю самого механизма преобразования, но он прост. Интересно, что, например в числе 3 =10,01000… мы получили такой вид числа от переполнения нулевого разряда при операции 3 =2+1= 10,001000… В системе Бергмана этот момент выражается в виде 2=1+1=10,1. Принцип разложения очередной счетной единицы по разрядам дробной части числа вместе с формированием новой разрядной единицы при переполнении разряда сложения – характерная особенность таких счетных систем. С увеличением основания участие дробной части в формировании числа только усиливается. Эта особенность и диктовала когда-то необходимость использования в качестве основы для формирования счетной системы какой-либо числовой последовательности, например, последовательности Фибоначчи для отображения количества счетных единиц рациональным числом. Можно использовать тот же путь для формирования системы представления числа по типу кодов Фибоначчи. За основу возьмем последовательность по m =2: 1,2,5,12,29,…. Все механизмы изменения и преобразования числа нам известны и можно приступать к формированию счетной системы: 1=1 2=10 3=11 4=20 5=100 6=101 7=110 8=111 9=120 10=200 11=201 12=1000 и т.д. Примерно так идет счет. Эта система потому и названа системой представления числа, что она имеет «маленькие хитрости» организации счета. Например, в этой системе нулевой разряд имеет емкость наполнения только одну единицу. Это результат исключения дробной части из формирования числа. К сожалению, в подобных системах она отсутствует. *** Я не даю больших выкладок в описываемом материале. Для этого будет другое время и другие возможности. И может быть, не у меня … Не так это важно. Важно, что и формула А.А. Татаренко
и взаимообратные числа позволяют существенно расширить математические
горизонты, далеко за единственное когда-то в своем роде число Ф, известное
с давних времен. Число Ф останется «золотым сечением» навечно, но,
возможно, уже не уникальным числом, а только первым в ряду подобных. |
